Полученную схему называют попеременно-треугольной:

(Е + xRi) (Е + xR,) Ы (Л, + Л,) у = ф. (67)

Операторы E-\-xRa, легко обращаются, так что алгоритм вычисления разностного решения в этой схеме несложен и требует небольшого числа операций на каждый узел сетки. В самом деле, такие операторы уже встречались при составлении схемы бегущего счета (10.29) для многомерного уравнения переноса; организация вычислений в этом случае была подробно разобрана в гл. X, § 1, п. 4. Схема (67) также решается посредством бегущего счета. На каждом слое сначала обращают оператор f + т/?!; вычисления при этом начинают с узла (Хю, лго) и ведут, например, по направлениям х, доходя в конечном итоге до узла {x-iM, хм)- Затем обращают оператор E--xR,, начиная вычисления с узла {XiNi хм) и ведя их в обратном порядке.

Попеременно-треугольная схема естественно переносится на случай любого числа измерений. Она легко обобщается на дифференциальные уравнения с переменными или разрывными коэффициентами и области G{x) сложной формы. При этом схема для исходной задачи Ау - - / записывается в виде

Bk = {D + XkRi)D-4D + XkR2), Вк= ~f4j/- = f. (68)

где D = D> о - диагональный оператор, выбираемый так, чтобы возможно сильнее уменьшить отношение y/Yi границ эквивалентности (29) операторов А и В/,, а треугольные операторы Ra выбраны так, чтобы выполнялось /? + /?2 = Л, Ri = R" (нетрудно заметить, что в схеме (67) эти условия выполнены, причем D = E). Если используется чебышевский набор шагов, то процесс (68) сходится за /С = О {Y~N In ~) итераций.

Градиентные методы. Можно заменить линейную задачу Ау - -/ задачей на минимум квадратичной функции F {у). Если матрица А положительно определенная, то удобно взять задачу

Р(у) {Ау, у)+ 2 (/, у) = rain. (69)

Для произвольной матрицы А (которая встречается в задачах со смешанными производными) можно положить

т {Ау +/, Ау +/) = min. (70)

Задачу на минимум можно решать методом наискорейшего спуска, что для случая (69) выполняется по формулам (6.22) - (6.26).

Скорость сходимости метода наискорейшего спуска, согласно оценке (6.27), такая же, как и у экономичных схем с постоянным оптимальным шагом, т. е. К (в) = 0 (Nln (l/s)). Она меньше, чем у схем с чебышевским набором шагов. Достоинством метода является то, что для его применения не надо знать границы спектра оператора А.

ЗАДАЧИ

1. Найти время, необходимое для установления стационарного режима в эволюционной задаче (Ю), и исследовать характер установления.

2. Найти оптимальный шаг для счета на установление по локально-одномерной схеме типа (22) в случае задачи Дирихле (1) в трехмерном параллелепипеде.

3. Найти оптимальный шаг и необходимое число шагов /С (е) для счета на установление по явной схеме (39) в случае задачи Дирихле в р-мерном параллелепипеде, когда сетки равномерны, а число узлов по каждой переменной Ла свое.

4. Для условий задачи 3 построить упорядоченный чебышевский набор шагов при /С = 64.

5. Обосновать критерий установления (276).

6. Для решения задачи (41) методом Ритца написать аналог системы (45) при фо(х)0.

7. Составить вариационным методом разностную схему, аналогичную (50), используя для f(x) спйайновую аппроксимацию типа (48).

8. Составить формулы наискорейшего спуска для задачи (70).

9. Доказать справедливость рекуррентных формул (57). Указание: полагая последовательно N = LNi, Ni=LN2 и т.д., использовать для индексов следующую замену переменных:

P = Pi+iP[, Pi = P2+NiP, РгРз+fsPi ....

i;=h+ui, ...

ГЛАВА XIII

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Глава XIII посвящена разностным схемам для уравнений в частных производных гиперболического типа. В § 1 рассмотрено гиперболическое уравнение второго порядка -волновое уравнение, которое можно заменить эквивалентной системой двух уравнений первого порядка. На примере одномерной задачи подробно разобраны явные и неявные разностные схемы решения Э1их уравнений. Дано обобщение этих схем на случай любого числа измерений.

В § 2 рассмотрены одномерные уравнения газодинамики, являющиеся гиперболической системой квазилинейных уравнений первого порядка. Построены две однородные разностные схемы («крест» и неявная консервативная схема), дающие хорошие результаты при решении многих прикладных задач. Приведен вид псевдовя.зкости, используемый, в этих схемах.

§ 1. Волновое уравнение

1. Схема «крест». К гиперболическим уравнениям приводят задачи колебания струны, движения сжимаемого газа, распространения возмущений электромагнитных полей и многие другие.

Типичным примером одномерной задачи является задача малых колебаний натянутой струны с распределенной по длине нагрузкой f (х, t):

Utt=cUxx-f{x, t), 0<х<а, 0<tT; (la)

u{x, 0) = 1i(a;), щ{х, 0) = P2(a;), 0<л;<а; (16) «(0, t) = \i;{t), и {a, t)Mt), OtT (iB)

(это же уравнение описывает плоские акустические волны в газе при наличии внешнего силового поля /). Краевые условия первого рода (1в) соответствуют заданному закону движения концов струны; возможны и другие типы краевых условий.

Заметим, что, в отличие от параболической задачи (11.1), гиперболическая задача (1) требует постановки двух начальных условий: не только начального смещения от положения равновесия и, но и начальной скорости вещества и

Составим несложную и эффективную разностную схему для задачи (1). Выберем по х, t прямоугольную сетку, для простоты