Главная Численные методы при исследовании физических задач



Исходная схема. Для многомерной задачи (35) рассмотрим аналог неявной схемы с весами (12), который будем называть исходной схемой:

{у-2у + у)= 2 К[оу + {Х-2а)у + ау] + !, 0<а =

а = 1

(40)

операторы Л„ - трехточечные и вычисляются по формуле (16). Эта схема симметрична по пространству и времени, поэтому легко

р \

видеть, что она имеет аппроксимацию О при любых

\ а=1

значениях веса ст. Методом разделения переменных можно показать, что при CTVa схема (40) безусловно устойчива.

Однако исходная схема, которую можно переписать в виде

2Е + хЦ1-2а) 2 Ла

Е-ха 2 Aa]y+xf, (41)

содержит на верхнем слое выражение

By, где В = £-т% 2 Л„.

(42)

а = 1

Оператору В, встречавшемуся (почти в той же форме) в схеме (11.68) для многомерного уравнения теплопроводности, соответствует ленточная матрица типа, изображенного на рис. 89 (гл. XII, § 2, п. 3). Решение линейной системы (41) не сводится к одномерным прогонкам, и оператор В оказывается труднообратимым. Поэтому исходная схема (40) неэкономична.

Факторизованная схема. Оператор (42) можно приближенно заменить факторизованным оператором

Сп (£-г2аЛа) =

« = 1

= £-т%2Ла + т1] Ц Л„Лр+...=В + 0(т*), (43)

а = 1 В=1-

т. е. приближенно расщепить В на произведение одномерных операторов. Заметим, что перестановочности операторов Ла для этого не требуется. Заменяя в исходной схеме (41) оператор В



2Е + хЦ\-2о) j] Л„1 y-U-xoj] у + xf, (44)

а=1 J \ а=1 /

отличающуюся от исходной. Исследуем ее.

Аппроксимация. Преобразуя факторизованную схему (44) к форме типа (40) и учитывая соотношение (43), получим

{у-2у + у)

= 2 A„[ay + (l-2a)(/+cTi/] + /-TV 2 2 А,Ару+...,

а=1 а=1 р=1 + а

ЧТО отличается от схемы (40) на члены О(т). Поскольку исходная схема (40) имеет второй порядок аппроксимации, то факто-ризованная схема (44) также имеет аппроксимацию 0(т + 2]а)-Устойчивость исследуем методом разделения переменных, подставляя в (44) многомерную гармонику (37). С учетом соотношения (38) получим для множителя роста квадратное уравнение

ер2 - 2р,р -1- V = 0; 8 = n(l + 2Va)Ss=l, ti=l-(l-2a)2Ya,

2 ]

= 0.

(45а)

(456)

Уравнение (45а) аналогично уравнению (22а); поэтому оба его корня не превышают единицы по модулю только в том случае, если выполняются неравенства (23):

Первое из этих неравенств для коэффициентов (456) всегда справедливо. Второе неравенство заменим несколько более жестким требованием .i = v; нетрудно проверить, что оно выполняется при

тЧ1-4а)2-1.

(46)

Это и есть достаточное условие устойчивости схемы (44). В частности, если oSsVi, то условие (46) выполняется при любых шагах т, /?„ и схема является безусловно устойчивой.

на с, получим факторизованную схему: п (£-таЛ„)у =



Если нас интересуют параметры потока в заданной пространственной области (течение газа в трубе), то естественно выбрать эйлеровы координаты. Если нам нужно исследовать поведение некоторой массы вещества, то целесообразно применение лагран-жевых координат. Особенно выгодны лагранжевы координаты для задач в слоистых средах, потому что они позволяют легко следить за границами раздела различных сред.

Большинство одномерных задач относится ко второму типу (в многомерном случае это не так). Поэтому здесь мы рассмотрим только уравнения газодинамики в лагранжевых координатах.

*) Уравнения газодинамики и исследование простейших газодинамических течений приведены, например, в [11, 19], а более подробное изложение методов решения -Б [27, 28, 34].

Безусловная сходимость факторизованной схемы (44) СО скоростью 0{x + ha) при V4=sScr<V2 следует из сказанного выше.

Вычисление разностного решения сводится к последовательности одномерных прогонок по всем направлениям Ха. В самом деле, факторизованный оператор С есть произведение одномерных трехточечных операторов £ -таЛц, а каждый такой оператор обращается одномерной прогонкой. Тем самым, схема (44) экономична.

Таким образом, для многомерных задач акустики факторизацией удается построить безусловно устойчивые экономичные схемы, сходящиеся со скоростью О (т + ll/Za) •

§ 2. Одномерные уравнения газодинамики

1. Лагранжева форма записи. Одномерные уравнения газодинамики являются хорошим приближением для описания ряда интересных задач: плоского течения сжимаемого газа в трубе, взрыва сферического или длинного цилиндрического заряда в газе, кумулятивных эффектов в мишенях при управляемом термоядерном синтезе (в последней задаче существенна также теплопроводность и другие эффекты) и т. д. Мы рассмотрим простые, но эффективные разностные схемы решения уравнений газодинамики без теплопроводности *).

Уравнения газодинамики могут записываться в различных формах - эйлеровой и лагранжевой. В эйлеровой форме производные по времени выражают изменение величин в данной точке пространства, а в лагранжевой - изменение характеристик данной материальной точки. Эти производные связаны соотношением



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 [145] 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0154