Если интерполяционная функция ф(л;; а) монотонна по х, то интерполяция будет монотонной. Классический пример-двухточечная интерполяция многочленом Ньютона (л:) = ao + Oi.v. Другим примером может служить двухточечная квазилинейная интерполяция (19). Очевидно, если интерполяция квазилинейная двухточечная, а преобразования ?]{(/), (х) монотонны, то интерполяция будет монотонной.

При трехточечпой интерполяции монотонность может нарушиться. В таблице 5 (п. 8) функция, по-видимому, монотонна. Но если использовать многочлен Ньютона с тремя узлами, т. е. оставить в формуле Ньютона только три члена, то получим у (Vj) =к-6,5, что нарушает монотонность. Очевидно, это результат использования немонотонной интерполяционной функции -параболы (х) = «о + QiX + ах.

Двухточечная интерполяция имеет погрешность 0{№), и ее точность не всегда достаточна; а увеличение числа узлов может внести немонотонность. Конечно, если интерполяционный ряд Ньютона (8) хорошо сходится, а монотонность все-таки нарушена, то это означает, что функция на самом деле немонотонна. Но нередко мы вынуждены ограничиваться заданным в формуле (или программе для ЭВМ) числом узлов. Если при этом надо сохранить монотонность, то можно поступать следующим образом.

Найдем такие соседние точки сетки, чтобы выполнялось =s л: sg x/j. Проведем вычисления по заданной многоточечной интерполяционной формуле и получим 1/* = ф(.г). Если это .значение лежит между значениями у, r/;.j, то считаем ответ правильным. Если оно выходит за пределы интервала, определяемого значениями у{, у-, то вмесго у* в качестве ответа берем ближайшее из этих двух значений, т. е. полагаем

y(x) = y* = (f (X) при min (yt, у1г) =5= у* max (yi, yt+i),

у {x) = min {yi, yii) при i/* < min ((/,, i/,-+i), (29)

у (X) = max ((/;, (/i+i) при у* > max (г/,-, yij).

Эта монотонная интерполяция бывает полезна, например, при составлении разностных схем для уравнений в частных производных (глава X, § 1, п. 6).

11. Многомерная интерполяция. Двумерные таблицы широко распространены в физике и технике; например, таковыми являются таблицы термодинамических функций газов, где независимыми переменными обычно являются температура и плотность. Трехмерные таблицы составляют и используют значительно реже, но не потому, что таких зависимостей нет, а потому, что таблицы слишком громоздки. Четырехмерных таблиц практически нет, хотя в физике немало задач с большим числом параметров; так, проводимость плазмы о{Т, р, Е, Н) зависит от ее температуры и плотности, и напряженностей электрического (если сказываются нелинейные эффекты) и магнитного полей.

Огметим некоторые существенные стороны многомерной интерполяции. Для простоты ограничимся двумерными таблицами 2 (.г, у); обобщить все результаты иа большее число измерений нетрудно.

1) Чтобы объем таблиц был приемлем, приходится шаги по аргументам брать довольно большими. Это предъявляет жесткие требования к способу интерполяции. Часто приходится пользоваться методом выравнивания, т. е. подбирать замену перемен-

ных t,(z), Цх), г\{у), преобразующую описываемую функцией поверхность в плоскость.

Например, законы зависимости давления горячих газов от температуры и плотности Р (Г, р) близки к степенным. Поэтому при составлении таблиц свойств газов выгодно табулировать z, - \gp при аргументах = lg7, T] = Igp и сетки по новым аргументам брать равномерными (к сожалению, физики редко это делают). Сходные закономерности справедливы для других термодинамических функций, коэффициентов теплопроводности и электропроводности и еще многих свойств веществ.

В дальнейшем мы будем, предполагать, что выравнивающие переменные уже подобраны, и таблицы составлены в новых переменных. Тогда в качестве интерполирующей функции можно использовать многочлен невысокой степени.

2) Не любое число узлов интерполяции выгодно-. Если для одной переменной степень многочлена была взаинно однозначно связана с числом узлов{ то для двух переменных многочлен л-ой

степени йрп(х, у) = 2 ктХу имеет (д+1)(п + 2)/2 узлов.

А -h m = о

Если число узлов не соответствует этой формуле, то часть коэффициентов при высших степенях должна задаваться принудительно (в частности, нулями); ддя выбора этих коэффициентов редко есть разумные основания.

3) В многомерном случае иначе определяется понятие экстраполяции. Возьмем узлы интерполяции и соединим их попарно прямыми (в случае большего числа измерений-гиперплоскостями). Крайние отрезки ограничивают выпуклую область (рис. 7). Если искомая точка попадает в эту область, то имеет место интерполяция; если не попадает, то экстраполяция.

4) Не всякое расположение узлов допустимо. В одномерном случае узлы не должны были совпадать. Теперь же для интерполяции многочленом (х, у) необходимо, чтобы узлы не лежали на одной прямой в плоскости (х, у). В самом деле, система трех уравнений a-\-bXi-\-cyi = Zi имеет определитель

Рис. 7.

А (/-1, г, Гз) =

1 Xi Ух 1 Ха у.> 1 Xi Уз

== Xl (у2 - Уз) + (Уз -У1) + Хз (й - , (30)

который обращается в нуль, если узлы лежат на одной прямой. При интерполяции многочленом (х, у) требуется, чтобы узлы не лежали на кривой второго порядка и т. д.

Такие условия, а также условие отсутствия экстраполяции проверять в общем случае сложно. Поэтому для хорошей интерполяции сетка должна быть регулярно построенной, а не представлять собой совокупность беспорядочно расположенных точек; узлы из нее следует выбирать определенным образом. В дальнейшем ограничимся наиболее удобной прямоугольной сеткой (рис. 8, 9); желательно, чтобы она была равномерной.

На прямоугольной сетке удобна последовательная интерполяция. Пусть заданы Zij = z{Xi, yj) и требуется найти z{x, у). Выберем на сетке прямоугольник из km узлов, в который попадает искомая точка (рис. 8). Сначала проведем лагранжеву интерполяцию по строкам, т. е. при каждом фиксированном /ц найдем значение z(x, yj) по значениям 2/„. Затем проведем лаг-

Рис. 8.

Рис, 9.

ранжеву интерполяцию по столбцу, т. е. по значениям z{x, yj) найдем искомое значение z{х, у).

Последовательная интерполяция имеет ряд преимуществ. Она позволяет брать по каждой переменной свое число узлов. Легко написать ее общую формулу, аналогичную одномерной формуле Лагранжа.

km km

,• = о / = о

р = 0 <7=0

ixp-xi}(yg-yj)

хотя вычисления удобнее производить, последовательно применяя одномерные формулы Ньютона. Формулу (31) можно обобщить, используя для каждого аргумента свою квазилинейную интерполяцию, т. е. по строкам делая замену Цх), i(z), а по столбцам-т] (г/), 2(2); такие выравнивающие замены подобрать проще, чем единую замену. Однако последовательная интерполяция завышает степень интерполирующего многочлена; например, если по обоим направлениям берется двухточечная интерполяция) т. е. многочлен первой степени, то результирующий многочлен будет квадратичным многочленом вида •fj.a {х, у) =а+рл;---уг/4-бхг/.

Многочлен минимальной степени получается при треугольной интерполяции. Если взять треугольную конфигурацию узлов