ГЛАВА XIV

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В главе XIV рассмотрены простейшие методы решения интегральных уравнений. Корректно поставленным задачам посвящен § 1. В нем изложены некоторые типичные постановки задач и даны методы их решения: разностный метод и некоторые приближенные методы.

В § 2 рассмотрены некорректно поставленные задачи для линейных интегральных уравнений первого рода. Изложена теория построения регуляризи-рующих алгоритмов по А. И. Тихонову. Для некоторых некорректных задач, возникших в предыдущих главах, даны алгоритмы решения, доведенные до схем численного расчета.

§ 1. Корректно поставленные задачи

1. Постановки задач. Интегральным называют уравнение, в котором неизвестная функция и (х) стоит под знаком интеграла. Одномерное нелйнейное интегральное уравнение имеет вид

u(l))dl = F{x, и{х)), агЬ, (1)

\К{х,

где ядро К {х, , и) и правая часть F (х, и) - заданные функции.

К интегральным уравнениям приводят многие физические задачи. Так, задача восстановления переданного радиосигнала и (t) по принятому сигналу / (t) сводится к решению интегрального уравнения типа свертки:

T)«(T)dT = /(0, (2)

где ядро К (1) зависит от свойств приемной аппаратуры и среды, через которую проходит сигнал.

Заметим, что даже для задач, записанных в терминах уравнений в частных производных, первичной обычно является формулировка в виде интегральных законов сохранения, т. е. интегральных уравнений. В предыдущих главах такие формулировки использовались, например, для построения консервативных разностных схем.

Тем самым, для уравнения (3) не требуется задавать никаких дополнительных условий, начальных или граничных (см. также задачу 1).

Во-вторых, в интегральных уравнениях переход от одной переменной ко многим является естественным. Так, многомерным аналогом (1) является уравнение

5 К{х, I, u{l))dl==F(x, и(х)), о (5)

X={Xi, х, Хр} 0{х),

отличающееся от (1) только тем, что интегрирование проводится по многомерной области G. Поскольку оба уравнения не требуют дополнительных условий и полностью определяют задачу, аналогия является полной. Тем самым, теоретическое обоснование постановок и методов решения одномерных задач непосредственно обобщается на случай многих измерений.

Наоборот, в дифференциальных уравнениях переход от одной переменной к нескольким, т. е. от обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнениям в частных производных, является принципиальным усложнением, приводит к новым постановкам задач и требует новых методов для их обоснования.

Далее мы ограничимся рассмотрением одномерного уравнения (1) и некоторых его частных случаев.

Линейные задачи. Лучше всего изучены уравнения, в котарые неизвестная функция и(х) входит линейно (см. [23]). Их можно записать в виде

u(x)-klK{x,l)u(l)dl = f{x), axb. (6)

Это уравнение называют уравнением Фредгольма второго рода: ядро К(х, I) этого уравнения определено на квадрате axsb.

Если ядро К{х, I) отлично от нуля только на треугольнике a£=:lsxb (т. е. К{х, 1) = 0 при х<1), то уравнение (6)

Интегральные уравнения в некоторых отношениях удобнее дифференциальных. Во-первых, интегральное уравнение содержит в себе полную постановку задачи. Например, интегральное уравнение

u{x) = u, + \f{l, u{l))dl (3)

эквивалентно задаче Коши для дифференциального уравнения

= /(х, «.), u{Xo) = Uo. (4)

переходит в уравнение Вольтерра второго рода:

u(x)-x\K{x,l)u{l)dl = f{x), axb. (7)

Это уравнение теоретически исследовать или численно решить МНОГО проще, чем уравнение Фредгольма.

Если в уравнениях (6) и (7) отбросить член и{х), оставив только и (I) под знаком интеграла, то получим уравнения Фредгольма и Вольтерра первого рода. Задачи для уравнений первого рода являются некорректно поставленными и будут рассмотрены в § 2. Для уравнений второго рода задачи корректно поставлены; остановимся на этих задачах.

Для однородного уравнения Фредгольма второго рода (6) ставится задача на собственные значения: ь

и(х)=к\К{х, l)u(li)dl, axb. (8)

Требуется найти такие значения параметра Я = /1;, при которых уравнение (8) имеет нетривиальные решения ы = фг(х); Я; называют собственными значениями ядра К (х, t), а фг (х) - собственными функциями.

Если ядро вещественное и симметричное, К (х, 1) = К(1, х) = = К* (х, I), то оно имеет по меньшей мере одно собственное значение. Все собственные значения такого ядра вещественны, а его собственные функции ортогональны друг другу. Заметим, однако, что система собственных функций ф (х) мол<ет быть неполной и даже конечной.

Неоднородное уравнение Фредгольма (6) при значении параметра %, не равном ни одному из собственных значений Ki ядра, имеет решение и{х), притом единственное.

Если ядро К (х, £) и правая, часть f (х) непрерывны вместе со своими р-ми производными, то решение также р раз непрерывно дифференцируемо. В этом легко убедиться, продифференцировав (6) р раз:

„(р) () fip) () + X J dPKij I) и il) dl. a

При сделанных предположениях правая часть этого равенства непрерывно зависит от х, что доказывает наше утверждение.

Для симметричного ядра решение неоднородного уравнения (6) представляется в виде разложения Шмидта:

u{x)=f (X) + 21 % W \ f т % И) 4; (9)