если ядро К{х, Е) и правая часть f (х) интегрируемы с квадратом, то этот ряд сходится абсолютно и равномерно. В данном случае из формулы (9) непосредственно видно, что при КфК решение и(х) существует, единственно и непрерывно зависит от f(x), что означает корректность задачи (6).

Пусть параметр X равен одному из собственных значений Я,-ядра К{х, I). Тогда неоднородное уравнение Фредгольма (6) при произвольной правой части f{x), вообще говоря, не имеет решения. Однако при некоторых правых частях f (х) оно может иметь решение, притом не единственное (соответствующие примеры будут рассмотрены в п. 4). Таким образом, при k = ki в классе непрерывных или даже достаточно гладких правых частей / (х) задача (6) является .некорректно поставленной.

Уравнение Вольтерра не имеет собственных значений: если в уравнении (7) положить f (х) = О, то оно будет иметь только тривиальное решение и (х) = 0. Поэтому неоднородное уравнение (7) всегда имеет решение, притом единственное.

2. Разностный метод. Это простейший численный метод, позволяющий получать решение одномерных задач с хорошей точностью, а двумерных -с удовлетворительной. Он рассчитан на применение ЭВМ, хотя оценки с небольшим числом узлов сетки можно производить вручную.

Рассмотрим одрюмеррюе нелинейное уравнение (1). Возьмем на [а, Ь] какую-нибудь квадратную формулу, например линейную формулу с узлами х„ и весами с„:

\ф{)с11 2 пФ(Хп) (10)

а п~ I

(нелинейные квадратурные формулы почти никогда не используются). Введем в квадрате [asxb, a-lcb] сетку x„, где Xn и являются узлами формулы (10). Заменяя интеграл в уравнении (1) суммой (10), получим систему алгебраических уравнений для определения приближенных значений в узлах у„и{ХпУ.

П1 Xmi Ут )-Р{Хп,Уп), ltiN. (11)

m= 1

Эту систему целесообразно решать методом Ньютона. На вопрос о сходимости Уп к и {х„) при заданном типе квадратурной формулы и N-oo в настолько общей постановке трудно ответить.

Рассмотрим линейные задачи. Для них обоснование сходимости (при использовании линейных квадратурных формул)-фактически содержится в теории Фредгольма. Это обоснование громоздко и здесь не приводится (см., например, [23]).

Однородное Уравнение Фредгольма (8) линейно, поэтому для него система (11) также линейна. Зап1шем ее в следующем виде:

CmKnmym = j;yn, lnN, К„т-= К (х„, X). (12)

m= 1

Система (12) представляет собой задачу на определение собственных значений матрицы К порядка N с элементами Кпт ~ = КптСт- Эта матрица имеет N собственных значений ЦК 1 sgisiV, которые являются приближением к первым собственным значениям Xi ядра К{х, ).

Разностное решение (12) вычисляют методами, описанными в главе VI. Матрица К является, вообще говоря, плотно заполненной и неэрмитовой; поэтому фактически вычислить разностное решение удается только при небольших jV<50. Получить в этом случае. хорошую точность можно лишь для нескольких первых собственных значений, причем ядро и правая часть должны быть достаточно гладкими и не быстропеременными.

Замечание 1. Пусть ядро, правая часть и искомое решение достаточно гладки и квадратурная формула (10) имеет на них аппроксимацию О (hP). Поскольку алгоритм сходится, то он устойчив. Задача (8) - линейная, поэтому из аппроксимации и устойчивости следует сходимость со скоростью О (hP).

Сходимость можно исследовать численно, проводя расчеты на последовательности сгущающихся сеток и устанавливая стремление Уп и некоторой предельной функции при h~0.

Неоднородное уравнение Фредгольма (6) приводит к линейной неоднородной алгебраической системе

Уп-Х СтКптУт = !п, lnN, fn = f{Xn)- (13)

m= I

Разностное решение легко вычисляется,методом исключения Гаусса; на ЭВМ типа БЭС!Ч-6 скорость и оперативная память позволяют использовать в расчете до N\50 узлов. Таким образом, в этой задаче нетрудно получить более высокую точность расчета, чем в задаче на собственные значения.

Линейная система (13) имеет единственное решение, если кФ ФЦК Но KfXi, причем при большом N разница между ними невелика. Следовательно, описанный алгоритм хорошо обусловлен, если параметр X не лежит в малой окрестности одного из собственных значений X/ ядра.

Если то система (13) становится плохо обусловленной. При некоторых числах узлов N возможен сбой алгоритма: если слу-

*) Каждая лишняя сетка позволяет повысить порядок точности на 2, поскольку погрешность формулы трапеций разлагается по четным степеням шага h.

чайно значение W близко подходит к К, то разностное решение Уп на этой сетке может сильно отличаться от и{х).

Обычно нам неизвестны собственные значения ядра- Поэтому для обнаружения и исключения последнего случая все расчеты надо проводить на последовательности сгущающихся сеток. Если при сгущении сетки уп сходится к некоторой предельной функции ulx), то эта функция есть искомое решение (см. замечание 1). Если расчет на одной из сеток выпадает из общей закономерности, то имело место случайное совпадение KXiK Если на всех сетках г/„ не стремится к пределу при/1->0, то XXi.

Уравнение Вольтерра (7) получают из уравнения Фредгольма (6), полагая К (х, 1} = 0 при х<. Алгебраическая система (13) становится при этом треугольной:

Уп-Х 2 СтКптУт = !п, \ПЫ, (14)

т= 1

И решается обратным ходом метода Гаусса всего за Л действий. Поэтому здесь объем вычислений остается умеренным даже при Л/яаЮОО, что позволяет проводить расчеты с очень высокой точностью.

Выбор квадратурной формулы. Большинство задач приходится решать, используя сравнительно небольшое число узлов N. Поэтому для получения хорошей точности целесообразно выбирать квадратурные формулы высокого порядка точности, разумеется, если К{х, ) и f{х) имеют достаточное число непрерывных производных.

Обычно наилучшие результаты для достаточно гладких решений дают квадратурные формулы Гаусса или Гаусса - Кристоффеля; при числе узлов k их порядок точности /7 = 2/г. А\ожно также использовать простейшую формулу трацеций, последовательна сгущая сетки вдвое от /У = 2 до N = 2* и уточняя решение способом Рунге; это также дает результат с порядком точности p = 2k*), но требует использрвания существенно большего числа узлов, чем в формулах Гаусса.

Нередко ядро К{х, I) или правая часть /(х) недостаточно гладки и даже имеют разрывы. Наиболее типичен разрыв ядра или его производных при л; = (на диагонали квадрата а sgxb, alb); встречаются особенности, и на других линиях в плоскости (х, I). В этих случаях использовать формулы Гаусса нецелесообразно. Удобнее построить специальную сетку x„ так, чтобы особые линии пересекали линии сетки х = х„ только в узлах