Главная Численные методы при исследовании физических задач



Очевидно, непосредственно решать некорректные задачи при неточно заданной правой части бессмысленно. Если f (х) задана с погрешностью б/ (х)-, то соответствующее решение «а (?) или не существует, или отличается от искомого решення й() на величину би (I), которая может быть большой.

Даже если/(х) задана точно, ко отыскание решения выполняется численными методами, то неизбежно вносятся погрешности метода и округления. Это снова приводит к большой погрешности решения би ().

Регуляризирующий алгоритм. Пусть требуется найти решение и (1) некорректно поставленной задачи:

Л[х, um = fix), uiDU, f{x)F. (38)

Здесь Л -некоторый оператор, не обязательно интегральный, а и я f - нормированные пространства. Предполагается, что для произвольной f (х) решение задачи (38) может не существовать; однако имеются некоторые J(x) е F, для которых существуют решения й (I) е U.

Ранее, изучая разрывные решения квазилинейных уравнений, мы вводили в исследуемое уравнение дополнительные члены, изменяющие свойства решений в нужную нам сторону. Попробуем и здесь изменить уравнение (38), введя в него дополнительные члены с малым положительным параметром регуляризации а. Символически запишем измененную задачу:

ААх> Ua(l)] = fix), (39)

а ее решение обозначим через Uail)-

Определение. Оператор Аа называют регуляризирующим, если а) задача (39) является корректно поставленной в классе правых частей F при любом («е слишком большом) а >> О и б) суиест-вуют такие функции а (б) и б(е), что если II/ -/ f*s6 (е), то ll«a(6)-S(/=£Se.

Замечание. Функции а (б) и б (е) зависят также от / (х).

Таким образом, если найден регуляризирующий оператор Ла, то задача (39) имеет решение при любых / (х) е f, в том числе отличающихся от / (х) на любого вида погрешность б/(х); эта задача устойчива, так что ее можно решать обычными численными методами. При правильно подобранном пара.метре а ее решение «а (I) достаточно мало отличается от нужного нам решения 0.(1) исходной задачи (38).

Для одной и той же задачи можно построить много различных регуляризирующих алгоритмов. Кроме того, при заданном пространстве F разные алгоритмы могут давать решения Цд (g), принадлежащим различным пространствам U. Различают регуля-



ризацию слабую (U есть гильбертово пространство), сильную (чебы-шевское пространство) и р-го порядка гладкости (пространство С(р) *)).

MoHiHO формально превратить задачу (38) в корректно поставленную, если ограничиться рассмогрением правых частей / (л-), принадлежащих некоторому более узкому классу Fq. Например, для задачи численного дифференцирования (36) в качестве Fg возьмем пространство С. Малость означает, что

шах 16/ (х) 1 невелик; поэтому такой вариации- правой части соответствует малая вариация ди (g) Ц,.

Однако такой подход не конструктивен. Зачастую / (х) содержит заметную погрещность, например, она может быть экспериментально определяемой величиной. Поэтому постановки большинства прикладных задач таковы, что в качестве F приходится выбирать чебышевское или даже гильбертово пространство, причем решение и () необходимо получить в чебышевскол! пространстве.

2. Вариационный метод регуляризации, Рассмотрим уравнение Фредгольма первого рода (33). Будем считать, что его ядро непрерывно и таково, что в случае /(х) = 0 уравнение имеет только тривиальное решение и (1) = 0. Тогда при любой правой части f(x)F решение либо единственное, либо не существует; тем самым, интегральный оператор

А[х, и{1)] = \к{х, l)u{l)dl (40)

отображает U в F взаимно однозначно.

Исходную задачу (33) можно записать в вариационной форме:

1{А[х, uil)]-f{x)}4x=mm, (41)

где оператор А определен формулой (40). Рассмотрим измененную задачу:

М [а, fix), и Ц)] I {А [х,и (I)] - / {х)У dx + aQ„ [и ()] = min, (42а)

где так называемый тихоновский стабилизатор п-го порядка Q„ равен

QЛm-\dl2P(){J (426)

а k = Q

а весовые функции pj, Ц) непрерывны и неотрицательны, причем

*) Это пространство функций и (), а :S 6, непрерывных и ограниченных вместе со своими р-ми производными, причем j и Ц =тах { м , \ и\, ...

.... \иР>\}.



Рп(Е)>0 (если нет специальных оснований для их выбора, то обычно полагают =

Введем в множестве функций U норму \\ и \\Ь = Qn[u]; полученное пространство называют пространством Соболева W- Множество правых частей F будем считать гильбертовым пространством. Докажем методами функционального анализа, что алгоритм (42) является регуляризирующим (другое доказательство см. в п. 3).

Теорема 1. Задача (42) имеет реиление Ua (?) при любых fix)F и а > 0.

Доказательство. При а > О функционал М[а,, f, и] ограничен снизу. Тем самым, при данных а и f (х) он имеет точную нижнюю грань. Выберем некоторую минимизирующую последовательность Uid), i = 0, 1, 2, так, что

UmMi==M, Mi = M[a, /, М/], М= inf М[а, f, и].

i-юо ueU

Упорядочим эту последовательность так, чтобы Mj не возрастали. Тогда

Ы -Mil~M, = const. (43)

Таким образом, последовательность а,- (Е) принадлежит множеству ы(), для которых Q„ [ы] ас; const. Такое множество является компактом в и. Поэтому из последовательности Ui (1) можно выделить подпоследовательность пцк) (?), сходящуюся по норме к некоторой Ua(l)U. в силу непрерывности функционал М[а, f, и] на этой функции (I) достигает своей точной нижней грани. Тем самым, Ua (Е)е есть решение задачи (42), что доказывает теорему.

Теорема 2. Алгоритм (42) является регуляризирующим для задачи (41).

Доказательство. Используем следующие обозначения:

й () - решение исходной задачи (41) с правой частью f (х); йа (?) - решение измененной задачи (42) с приближенной правой частью fix); введем также функцию fa{x) = A[x, «„(?)].

Поскольку функционал М [а, J, и] достигает минимума на йа, то М[а, J, йа]=£;Л1[а, /, й]. Отсюда, используя определение функционала (42а), получим

aQn[ua]M[a, f, йа]М[а, f, й] =

= $ {Л [X, й] - / (х)dx + aQn И = I {/ (х) - J (X) у dx +

+ aQ„[a] = \\f-f\\l + aQn[u]. (44)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 [154] 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0282