Главная Численные методы при исследовании физических задач



С ядром и правой частью

0{1,\) = {к{х,1)К{х,ц)йх, Ф П) =\к{х,1)! (х) dx (536)

И краевыми условиями

qr[u{a)] = qr[u{b)] = 0, lrn; qr[u] У {~\}"iPkU)-

(53в)

Заметим, что ядро Q(, -ц) определено на квадрате [а, Ь\ а, Ь], симметрично и непрерывно, а правая часть Ф (?) непрерывна.

Формулировка задачи (42) в виде уравнения Эйлера (53) позволяет доказать, не пользуясь аппаратом функционального анализа, что построенный алгоритм является регуляризирующим; при этом для простоты будем полагать pkiDl.

Теорема 1. Задача (53) корректно поставлена при любом а>0.

Доказательство. Сначала рассмотрим простейший случай и = 0. При этом исчезают все краевые условия (53в) и производные в уравнении (53а), и задача (53) превращается в интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

а«(Н) + $<3(?, тl)н(r)dll = Ф(?) (54)

С ядром и правой частью (536).

Пусть м; (Е) - собственные значения и собственные функции ядра Q(?, т). Поскольку ядро имеет вид (536), то они удовлетворяют уравнению

и, (с) = Я,. I Ui (ц) dii \ К (X, I) К {X, Т1) dx.

Умножая обе части уравнения на «;(?) и интегрируя, получим 0<1и] П) dl = Я, I dx i\ K{x,l)Ui il) dl\ .

a с Уа

Отсюда видно, что все собственные значения ядра Q (S, ц) положительны.

Поэтому, согласно теории интегральных уравнений Фредгольма (см. § 1, п. 1), при любом а>0 уравнение (54) имеет решение (Е), причем это решение единственно и непрерывно зависит от правой части Ф (Е) и, тем самым, от /(х). Таким образом, при « = 0 задача (53) и эквивалентная ей задача (42) корректны.



/l-t-S -.2 1 + 6 g + 6

\ \ua{r)\dx 5 dx- 5 I Ча (x) dx

I I

6-\[uaix)fdx8-Q,[u„]- (56)

Рассмотрим множество решений ««(Е), соответствующих одной и той же правой части }{х), но разным значениям параметра а > 0. Полагая / = / в неравенстве (44), получим

QAua]A, Й1==ЙгИ. (57)

Из неравенств (56) и (57) следует

1 + 6

йЛ5 + б)-йа(Е)==с $ l«;(T)dT:s=K6Qi, (58)

что означает равностепенную непрерывность множества функций йаЦ)- Кроме того, согласно определению функционала при

(b - а) min й„ Ц) Р =££ Qi [й„] < Qy. (59)

При /г > О задачу (53) также можно свести к интегральному уравнению. Построим функцию Грина G(E, т) для дифференциального оператора, стоящего в левой части (53а), при краевых условпях (53в). Рассматривая все интегральные члены в (53а) как правую часть дифференциального уравнения, выразим через них решение при помощи функции Грина:

6 6 6

аиа) + \и(г])йц1а(1, r)Qix, Ti)dT = 5G(E, T)0(T)dT. (55)

а а а

Таким образом, и (1) удовлетворяет уравнению Фредгольма второго рода, причем его ядро имеет только положительные собственные значения. Следовательно, задача (53) корректна при любом п, если а > О, что и требовалось доказать.

Замечание 1. Интегро-дифференциальное, уравнение (53а) содержит производные решения вплоть До порядка 2п. Поэтому Ua (t) имеет 2п непрерывных производных.

Теорема 2. Пусть А[х, a] = f; тогда при п = 1 и положительном а-О решение йа (Е) задачи (53), соответствуюиее правой части f(x), равномерно сходится к й(Е).

Доказательство. При л=1 решения «а (I) задачи (53) с любой правой частью являются дважды непрерывно дифференцируемыми. Применяя неравенство Коши - Буняковского, найдем



длина интервала между соседними

узлами не превыи1ает

f . , , б = 2(г-а)/Л.

S 10 t1 12 13 П 15 IB Из последовательности огранн-

I I I I I I I I f I I I I

ченных в совокупности функций (?) можно выбрать подпосле-Рис. 103. довательность, сходящуюся в узле

1. Из этой подпоследовательности выберем подпоследовательность, сходящуюся в узле 1<, и т. д. В итоге построим подпоследовательность йа,, (?)> сходящуюся в каждом узле ; к некоторому пределу «(?,).

Выберем сколь угодно малое е > О и положим = 18 (Ь - а) х XQiB". Возьмем настолько малое „(е), .чтобы при а<ао(е)во всех узлах g,- с номерами i-,.N выполнялось неравенство I "а/, (?«•) - " (?() I е/3. Интервал между соседними узлами настолько мал, что в силу (58) значения «а, (?;) в соседних узлах будут различаться меньше, чем на е/З. Тогда значения й/,-) в соседних узлах с номерами i=N будут различаться меньше чем на е.

Отсюда, во-первых, следует, что функцию ы(?) можно доопределить во всех точках отрезка о <s g <= b так, что она будет непрерывной. Во-вторых, подпоследовательность йа,, (?) равномерно сходится к доопределенной функции /!(?).

Функции йа (?) являются решенйбм задачи (42) с правой

частью f{x). Подставляя их в эту задачу и переходя к пределу при «4-0, мы убеждаемся, что й(?) является решением этой задачи при сс = 0, т. е. решением задачи (41). Поскольку реше-

Из (59), (57) и (426) вытекает, что

b

max 1 й„ П) I «сminI й„(?)Ц- ij Па(?) 4(Vb + у=-) .

(60)

т. е. функции Uail) равномерно ограничены.

Теперь предположим, что функции йа (?) не сходятся равномерно к й(1) при а-0, т. е. для некоторого е>0 найдется такая последовательность а-О, что II йцД?) ~ й () !с е.

Построим на отрезке ascgsb последовательность "сгущающихся вдвое сеток. Узлы этих сеток образуют счетное множество

точек. Перенумеруем эти узлы,

. i как указано на рис. 103. Тогда

для отрезка этого множества, со-

-1--i стоящего из первых N узлов.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 [156] 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0244