Главная Численные методы при исследовании физических задач



k = o

Рассмотрим поведение возмущений при больших частотах. Если а = 0, то усор, т. е. возмущения решения велики, и расчет неустойчив. Регуляризации нет.

Если аО, но п = 0, то ур/а, т. е. B03MyiiteHnH решения по порядку величины равны возмущениям правой части, и расчет становится устойчивым. Чем больше tf, тем меньше возмущения решения и «разболтка» в численном расчете. Но сдвиги фаз отдельных гармоник приводят к тому, что сходимость будет только среднеквадратичной (слабая регуляризация).

Если п = 1, то у- р/асо и возмущения решения для высоких частот малы. Значит, расчет хорошо устойчив и ilail) равномерно сходится к й() (сильная регуляризация). При «>1 амплитуды 7а настолько быстро убывают при сй->оо, что обеспечивается равномерная сходимость не только регуляризованного решения, но и его («-1)-й производной.

4. Некоторые приложения. Некорректные задачи встречаются в практике вычислений довольно часто. К ним относятся, напри-

ние последней задачи единственно, то u(E)=S(), что противоречит сделанному в ходе доказательства предположению. Это противоречие доказывает теорему.

Теорема 3. Алгоритм (42) при п - 1 обеспечивает сильную регуляризацию.

Доказательство. Пусть точной правой части J(х) соответствуют точное решение й (Е) и регуляризованное решение Яа(Ю а приближенной правой части f (х) соответствует регуляризованное решение (Е).

Зададим сколь угодно малое s > 0. По теореме 2 найдется такое «о (8), что Ц й - й с е/2 при а ==; ссц Ф)

Согласно теореме 1 задача (42) корректна, так что при любом заданном а>0 найдется такое б (а), что если 11/ -/1 «б (а), то 1й„-йЛс<е/2.

Следовательно, если asgao(e) и II/ -/ Ц «б (а), то

II «а - й Не < II "а - Й„ Не + II Йа - й с 6.

Это соответствует определению сильной регуляризации (см. п. 1); теорема доказана.

Замечание 2. Поясним действие регуляризации простыми рассуждениями. Пусть правая часть Ф(с) получила возмущение pgimj. тогда решение получит возмущение уе. Прибавляя эти возмущения в (53а) и оценивая каждое слагаемое по порядку величины, получим



Рг~£]-Р,и{х) -«(x)-f/(x)=0, «(й)="(й)=0. (61)

dx Ii dx

Таким образом, сглаженная функция ы (х) удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, для которого поставлена вторая краевая задача. Методы численного решения этой задачи подробно разобраны в главе VIII.

Замечание 1. Весовые функции р(,{х) и Рх{х) выбирают, исходя из дополнительных сведений о виде функции f(x) и величине погрешности б/(х). Например, Pk{x) целесообразно брать большими в тех диапазонах значений х, где погрешность б/(х) особенно велика. Если подобных сведений нет, то обычно полагают Po(4 = PiW = l-

Замечание 2. На концах отрезка [й, Ь] погрешность сглаживания может быть значительна, поскольку краевые условия второго рода в (61) не соответствуют, вообще говоря, истинному поведению функции.

Замечание 3. Можно уменьшить погрешность сглаживания вблизи концов отрезка [а, Ь], если воспользоваться регуляризацией более высокого порядка (см. задачу 10). Однако, как отмечалось в п. 2, при этом могут исказиться качественные особенности решения (типа, например, узких экстремумов).

Д иффе р енцирование. Задачу дифференцирования и (х) = = f(х), fl:ssxs6, мол<но записать в виде уравнения Вольтерра первого рода (36):

\u{l)dl==f{x)-f{a),

мер, сглаживание и дифференцирование экспериментально измеренных функций, суммирование рядов Фурье с неточно задан-нымп коэффициентами, peujenne плохо обусловленных линейных систем, задачи оптимального управления, аналитическое продолжение функций, линейное программирование (оптимальное планирование), обратные задачи теплопроводности и геологической разведки, восстановление переданного сигнала по принятому при наличии искажений аппаратуры и многие другие.

Некоторые из этих задач встречались в предыдущих главах. Покажем, как они регуляризируются вариационным методом. Для определенности ограничимся сильной регуляризацией, пола--гая «=1 в формулах (42) или (53).

Сглаживание функции. Пусть функция/(х), а «с хйсЬ, измерена экспериментально и содержит заметную случайную погрешность. Тогда математическая задача имеет вид ы (х) = / (х); ее можно записать в каноническом виде А[х, и {l)] = f (х), полагая Л [х, и(1)]и{х). Подставляя последнее выражение в измененную задачу (42), составим уравнение Эйлера (53):



( du

+ \{b-l)u (.1) + \{b- ц) и (л) dn = \ if {x) - f (а)] dx, (63)

а i I

и [a) = О, и (b) = 0.

К этой задаче также относятся сделанные выше замечания о выборе весовых функций, о значительной погрешности на концах отрезка [а, Ь] и возможностях ее уменьшения.

Суммирование ряда Фурье. Пусть задана полная орто-нормированная система функций ц>s(x), которую можно рассматривать как систему собственных функций некоторой задачи Штурма - Лиувилля:

Pi (х) - [Ро (х) + Ц ср (х) = О, g

ф(а) = 0, ф(й) = 0. Требуется просуммировать ряд Фурье

/(х)= 2 Р,фЛ), (65)

коэффициенты которого заданы приближенно.

Эту задачу можно рассматривать как сглаживание неточно заданной функции /(х). Воспользуемся для ее решения уравнением (61), где в качестве ро (-) " Pi(x) выбраны веса, входящие

или, формально, в виде уравнения Фредгольма первого рода с разрывным ядром:

\K{x,l)u{l)dl=f{x)-f{a), axb; (62а)

/((х, ) = 1 при a=s=g<-A;sSb, К(х, Е)=Опри 1>х.

Поскольку требование непрерывности ядра не является существенным, применим к этой задаче алгоритм (53). Легко получим

Q ih П) = \ К {х, I) к {х, ц) dx = 6 - max (ё, ц),

Ф И) = \ [/ W - ! т к (х, I) dx = \ [/ (х) - / (а)] dx.

Отсюда вытекает, что регуляризованное решение удовлетворяет следующему интегро-дифференциальному уравнению и краевым условиям:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 [157] 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.034