В задачу Штурма - Лиувилля (64). Будем искать регуляризованное решение также в виде ряда Фурье:

«w=2]v.9.w- (66)

s = l

Подставляя (66) и (65) в (61) и учитывая (64), пдлучим

v=-TTk;. (67)

где )is> -собственные значения задачи Штурма-Лиувилля (64). Этот способ регуляризации приводился без доказательства в гл. II, § 2, п. 3.

Плохо обусловленные линейные системы Aa=f, где и и /-конечномерные векторы, можно регуляризировать, записывая их непосредственно в вариационной форме (42) и выбирая п = 0:

Ли-/Р + а11и! = шш, \\af = ia, а). (68)

Формально п = 0 соответствует слабой регуляризации. Но в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, поэтому сходимость регуляризованного решения к точному при а->0 является равномерной.

Уравнение (68) означает, что среди решений, приближенно удовлетворяющих исходной задаче, ищут вектор наименьшей длины. Часто рассматривают более общую постановку:

1Ии-/11 + а1и-Иор = шт, (69)

которая определяет нормальное решение - приближенное решение, наименее отличающееся от заданного вектора Во- Ее используют, например, в задачах линейного программирования (см. гл. VII, § 3).

Поскольку (69) является квадратичной формой относительно и, то нахождение ее минимума сводится к решению линейной алгебраической системы

iA"A+aE)a = A"f+aao. (70)

Благодаря слагаемому аЕ эта система хорошо обусловлена, по крайней мере, при не слишком малых а>0. Поэтому ее-нетрудно решить методом исключения Гаусса.

Описанный алгоритм применяют также для решения систем с вырожденной матрицей А.

5. Разностные схемы. При вариационном методе регуляризации численно решать приходится либо задачу на минимум функционала (42), либо краевую задачу для интегро-дифференциального уравнения Эйлера (53). К этим задачам целесообразно применять разностные методы.

где величина, обозначенная через Ь{х), имеет смысл невязки исходной нерегуляризованной системы при подстановке в нее регуляризованного решения. Аппроксимируем входящие в -(71) интегралы квадратурными формулами, использующими значения функций в узлах сетки. Для этого \ {uY dl вычислим по формуле средних (4.17), одновременно заменяя производную разностью:

Остальные интегралы вычислим по формуле трапеций (4.8): ь м

[um)dlhi 2 Cm" "m=«(Em); (73)

m = 0 M

I К (Xn, I) и (I) dlh 21 (mKnmUm, Knm = К (X„, „); (74)

a от = 0

ll8ix)fdxhx ХЬп[8{х„)]\ (75)

с n = о

c„=l При IsCmsM -1, со = Сл1 =V2,

bn=l при lnN-l, Ьо = Ьм = и.

Подставляя (72) - (76) в (71) и обозначая разностное решение через Ут, получим вместо (71) алгебраическую задачу

N I М Y

К 2 bAhi 2 СтКптУт-!п\ +

М М-\

+ ah 2 + 2 (Ут-ц-г/т) = га1п (77

m = о * m = о

на минимизацию квадратичной формы.

Дадим пример построения разностной схемы, исходя из ва-риационной формулировки (42). Введем на прямоугольнике [cs a=£S<6] сетку {х„, Im, 0ns=N, 0<тУИ} так, что Хо = с, XN = d, Ео = й, м =Ь. Для простоты ограничимся случаем равномерных сеток Xn = c + nhx, lm = u. + fnhi, сильной регуляризации и единичных весовых функций ро Ц) = Pi (g) = 1. Задача (42) при указанных ограничениях принимает вид d ь

J [б {x)f dx + a J р il) + (f)] dl = min, (71a)

b{x) = \K{x,l)u{l)dl-f{x), (716)

(Ут) = ,,(УтЛ-2Ут + Ут,1) ПрН 1 </П =sS М - 1,

Л (г/о) = L {У1 - г/о), Л (г/л() = L (Ум i-ум);

(786)

QmlK ЬпКптКпЬ Фш = НхЬЖпМ. (78в)

/1=0 /1 = 0

Матрица системы (78) является, вообще говоря, плотно заполненной; поэтому обычно эту систему решают методом исключения Гаусса.

На исследовании полученной разностной схемы не будем останавливаться, поскольку сходные вопросы были рассмотрены в главе VH, § 4. Отметим только, что схема (77) пли (78) имеет аппроксимацию О (Л!-j-A), еслн ядро и правая часть непрерывны со своими вторыми производными.

Замечание 1. Если умножить уравнение (78а) на то матрица этой линейной системы станет симметричной. Тогда для решения этой системы можно будет применить метод квадратного корня (который вдвое быстрей метода Гаусса).

Замечание 2. Нетрудно видеть, что Qmi и являются разностными аналогами ядра и правой части (536) интегро-дифференциального уравнения Эйлера. Выражение Л ((/„,), возникшее при дифференцировании последней суммы в (77), есть разностный аналог дифференциального оператора в уравнении (53а). Поэтому система (78) аппроксимирует также задачу регуляризации в, форме уравнения Эйлера (53), причем выражения Л (г/о) и А{ум) учитывают краевые условия (53в).

ЗАДАЧИ

I. Показать, что интегральное уравнение

{Р-а)л:+(&а-оР) -(Ь-я)г/ (л-) =

= (x-a)\(b-l)f(l, и (I)) dl + (b- х) \ (l~a)f (, и (%)) dl (79) X а

эквивалентно краевой задаче для дифференциального уравнения и" (х)=/ (X, и), и (а) = а, и (&) = 3.

Для решения этой задачи приравняем пулю производные от левой части (77) по Получим систему уравнений, линейных относительно г/,„:

ау„,- Л(ут) ф,п1У1 = Фт, ОтМ; (78а)

/ = О