Z \ X у

Ч 1 Xl у1

Zi 1 Х г/2

гз 1 (/3

интерполяции, изображенную на рис. 9 или повернутую на угол, кратный 90°, то число узлов будет равно (д-Ь 1) («+ 2)/2. Это число однозначно определяет многочлен л-й степени, который удобно записать в форме Ньютона, вводя разделенные разности функции двух переменных:

2(0. y) = [z{xo, y)-z{xi, y)\l{Xo-Xi), {x\ г/о. yi) = [z{x, Уо)-г{х, уШУо-Уд

и т. д. Такими же рассуждениями, как в одномерном случае, можно показать, что интерполяционный многочлен лагранжева типа имеет следующий вид:

{X, У) =

п п - С 1-1 /- 1

-ЕЕ (0. ,хь уо, ...,у,) П (-р) П (у-Уя)- (33)

i --0/ = 0 р = 0 <7 = Ь

В одномерном случае переменная у и индексы /, q исчезают, так что формула (33) переходит в обычную формулу Ньютона.

Многомерная интерполяция настолько громоздка, что обычно используется только многочлен первой или второй степени; читателям предлагается записать формулы (31) - (33) для этих случаев. Многочлены более высоких степеней используются много реже. По той же причине интерполяция эрмитова типа для многих переменных практически не употребляется. Сплайновая интерполяция используется в основном при разностном решении уравнений в частных производных.

Иногда мы вынуждены работать с функцией, заданной на нерегулярной сетке (например, с функцией, измеренной экспериментально). Тогда обычно ограничиваются интерполяционным многочленом первой степени; его коэффициенты находят по трем выбранным узлам, приравнивая в них многочлен табличным значениям функции:

гаЬхсу,

Zi = a + bXi + cyi, i=l, 2, 3.

Вычислять коэффициенты а, Ъ, с на самом деле не нужно. Заметим, что равенства (34) означают, что столбец {г, Zj, z, z} есть линейная комбинация трех столбцов, стоящих в правой части при коэффициентах. Следовательно, составленный из всех четырех столбцов определитель равен нулю:

+1 ( 2

1!У-Ф1к= I \ \-сх\с1х = \

-2 при !с1 > 1.

в самом деле, при j с [ 1 эта норма равна площади заштрихованной трапеции на рис. 10, а, т. е. двум. При 1с>-1 эта

Раскрывая этот определитель по первому столбцу и вспоминая формулу (30), получим следующее выражение для интерполяционного многочлена:

Z = [ZiA (г. го, а-з) + г.А (/-1, г, г) +

+ 2зА (,-1, /-)] / А (/-1, /-2. /-з). (35)

Эту процедуру вывода формулы нетрудно обобщить на многочлен любой степени при произвольно:.! расположении узлов, но сами формулы для многочленов высокой степени получаются громоздкими и неудобными для вычислений.

§ 2. Среднеквадратичное приближение

1. Наилучшее приближение. Интерполяция позволяет легко аппроксимировать функцию у{х). Однако точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка нескольких шагов сетки. Для другого интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяционной формулы. Нам же всегда желательно иметь единую приближенную формулу уф(х), пригодную для большого отрезка asgxb. Поэтому далее будем сравнивать заданную и аппроксимирующую функции на большом отрезке.

При интерполяции мы приравниваем значения у {х) и ф(х) в узлах. Если г/(л:,-) определены неточно - например, из эксперимента,-то точное приравнивание неразумно. Поэтому нередко целесообразней приближать функцию не по точкам, а в среднем, т. е. в норме Lp.

Пусть заданы функция у{х) и множество функций ф(л:), принадлежащие линейному нормированному пространству функций. Нас интересуют две задачи. Первая - аппроксимация с заданной точностью: по заданному е найти такую ф(х), чтобы выполнялось неравенство \\у {х) - ц>{х)\\г. Второе - нахождение наилучшего приближения, т. е. функции ф(л:), удовлетворяющей соотношению

\\у (x) - ф (х)\\ = inf \\у (Х) - ф {Х)\\ = V. (36)

Существует ли наилучшее приближение и единственно ли оно (для данных функции и множества)? Это имеет место не при любом выборе пространства и множества. Например, в пространстве L, - b=s;a;!£S+1, выберем функцию у{х)=\ и множество Ф (а:) = сх; тогда

+1 ( 2 при с 1,

норма, согласно рис. 10, б, равна площади заштрихованной трапеции (которая опять равна двум) плюс площади заштрихованных треугольников. Значит, для любого с, по модулю меньшего единицы, ф = сл; минимизирует норму отклонения, т. е. наилучшее приближение здесь существует, но оно не единственно.

Выведем достаточное условие существования наилучшего приближения. Пусть в линейном пространстве функций выбрано множество, образованное функциями вида

(37)

k= 1

где функции Ф*.(х) можно считать линейно-независимыми. Это множество есть линейное подпространство нашего пространства. Изменим один из коэффициентов суммы (37) на величину да; из неравенства треугольника (1.3) следует

\\\У - (Ф + бф)11 - \\У - Ф11 11бф11 = I ба I • ф,,

т. е. норма -фН непрерывно зависит от а*. Очевидно, ф также есть непрерывная функция коэффициентов а,,. Рассмотрим нормы как функции координат а. Сфера

k= 1

есть замкнутое ограниченное множество, поэтому ф на этой сфере имеет точную нижнюю грань (х и в силу непрерывности достигает ее при некотором ц>{х) Очевидно, fj,>0; в противном случае $(x)s0, что противоречит линейной независимости Фа(а:).