Главная Численные методы при исследовании физических задач



( = 1

есть также случайная величина, причем

Щп = М1, Dri„=lD?, (1)

а закон распределения величины ri„ стремится к нормальному (гауссову) при п->со. Поэтому среднеарифметическое нескольких независимых измерений

x==~ti (2)

i = 1

является приближенным значением измеряемой величины, причем с тем большей надежностью, чем больше число измерений п.

Однако равенство xMl не является точным, и нельзя даже строго указать предел его ошибки; в принципе х может сколь угодно сильно отличаться от М, хотя вероятность такого собы-

единичном измерении грубую ошибку не всегда можно опознать. Но если измерение повторено несколько раз, то при статистической обработке выясняют вероятные пределы случайной ошибки. Измерение, существенно выходящее за полученные пределы, считается грубо ошибочным и не учитывается при окончательной обработке результатов.

Таким образом, если измерение повторено достаточно много раз, то можно практически исключить грубые и случайные ошибки, так что точность ответа будет определяться только систематической ошибкой. Однако во многих приложениях это требуемое число раз оказывается неприемлемо большим, а при реально осуществимом числе повторений случайная ошибка может быть определяющей.

2. Величина и доверительный интервал. Пусть измерение проводят несколько раз, причем условия эксперимента поддерживают, насколько возможно, неизменными. Поскольку строго соблюдать неизменность условий невозможно, результаты отдельных измерений Xt будут несколько различаться. Их можно рассматривать как значения случайной величины I, распределенной по некоторому закону, заранее нам неизвестному.

Очевидно, математическое ожидание М? равно точному значению измеряемой величины х (строго говоря, точному значению плюс систематическая ошибка).

Обработка измерений основана на центральной предельной теореме теории вероятностей: если есть случайная величина, распределенная по любому закону, то



a = "KDTi„; (5)

*) в самом худшем случае, когда есть равномерно распределенная случайная величина, распределение близко к норйальному при /г~30, а интеграл в (3) близок к интегралу от нормального распределения при существенно меньших п.

тия ничтожно мала. Ошибка приближенного равенства (2) носит вероятностный характер и описывается доверительным интервалом Р, т. е. границей, которую с доверительной вероятностью рд не превышает разность jJc -МЕ. Символически это записывают следующим образом:

р(х-МЕ<р}=Ро. (3)

Доверительный интервал зависит от закона распределения I (а тем самым -от постановки эксперимента), от числа измерений п, а также от выбранной доверительной вероятности р. Из (3) видно, что чем ближе Ро к единице, тем шире оказывается доверительный интервал.

Доверительную вероятность Ро выбирают, исходя из практических соображений, связанных с применениями полученных результатов. Например, если мы делаем игрушечный воздушный змей, то вероятность благополучного полета Ро = 0,8 нас устроит, а если конструируем самолет, то даже вероятность ро = 0,999 недостаточна. Во многих физических измерениях Ро = 0,95-ь 0,99 считается достаточной.

Замеч-ание 1. Пусть требуется найти величину z, но измерять удобнее величину х, связанную с ней известным соотношением z = f(x); например, нас интересует джоулево тепло, а измерять легче ток. При этом следует помнить, что

Щ = \!{х)р {X) dx Ф f (Щ) = ! [\ хр (х) dx);

так, среднее значение переменного тока равно нулю, а средний джоулев нагрев отличен от нуля. Поэтому, если мы вычислим сначала х, а затем положим z = f{x), это будет грубая ошибка. Следует по каждому измерению Xi вычислять Zi = f{Xi) и далее обрабатывать полученные значения г,-.

Ширина доверительного интервала. Если известна плотность распределения р„ [у) величины то доверительный интервал можно определить из (3), разрешая уравнение

Ро= \ Pn{y)dy Щп = Щ, (4)

Мл-Р

относительно р. Выше отмечалось, что при п-со распределение т1„ стремится к нормальному *):



здесь Dti„ -дисперсия распределения, а величину 0„ называют стандартным отклонением или просто стандартом*).

Подставляя (5) в (4) и полагая р = /а„, т. е. измеряя доверительный интервал в долях стандарта, получим соотношение

Po = ]/e-W2dT. (6)

Интеграл ошибок, стоящий в правой части (6), табулирован, так что из этого соотношения можно определить доверительный интервал t{p. Зависимость t{p дается в таблице 23 строкой, соответствующей п = со.

Из таблицы 23 видно, что доверительный интервал Р = ЗсГд соответствует доверительной вероятности pi, = 0,997, так что отклонение х от М более чем на За„ маловероятно. Но отклонение более чем на ог„ довольно вероятно, поскольку ширине Р = ст„ соответствует Pq = 0,7.

Таким образом, если известна дисперсия то нетрудно определить стандарт о„ = УО/п и, тем самым, абсолютную ширину доверительного интервала р. В этом случае даже при выполнении одного измерения можно оценить случайную ошибку **), а увеличение числа измерений позволяет уменьшать доверительный интервал, поскольку а„ «-/2.

Критерий Стьюдента. Чаще всего дисперсия D? неизвестна, поэтому выполнить оценку ошибки указанным выше способом обычно не удается. При этом точность однократного измерения неизвестна. Однако, если измерение повторено несколько раз, можно приближенно найти дисперсию:

п п п

-12 -=¥ 21

1=1 г=1 1=1

Точность ЭТОГО выражения невелика по двум причинам: во-первых, число членов суммы обычно мало; во-вторых, использование замены Mg?«x вносит ошибку 0(1/л), значительную при малых п. Более хорошее приближение дает так называемая несмещенная оценка дисперсии:

( = 1

*) Для произвольного закона распределения Y называют среднеквадратичным отклонением.

Однако при я=1 считать распределение Pi(i/) = pW нормальным и пользоваться формулой (6), вообще говоря, нельзя. Этот вопрос будет рассмотрен ниже,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 [160] 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0212