4. Нахождение стохастической зависимости. Пусть требуется исследовать зависимость z{x), причем обе величины г п х измеряются в одних и тех же экспериментах. Для этого проводят серию экспериментов при разных значениях х, стараясь сохранить прочие условия эксперимента неизменными.

Измерение каждой величины содержит случайные ошибки (систематические ошибки здесь рассматривать не будем); следовательно, эти величины являются случайными. Закономерная

Таблица 25

Коэффициенты Фишера F (п, ,т\ ро)

*) С такой связью мы уже встречались в стохастических задачах нахождения корня уравнения (гл. V, §2, п. 4) и минимума функции (гл. VII, §1, п. 4).

СВЯЗЬ случайных величин называется стохастической*). Будем рассматривать две задачи:

а) установить, существует ли (с определенной вероятностью) зависимость z от л: или величина 2 от х не зависит;

б) если зависимость существует, описа1ть ее количественно. Первую задачу называют дисперсионным анализом, а если

рассматривается функция многих переменных г(х, у, ...) -то многофакторным дисперсионным анализом. Вторую задачу называют анализом регрессии. Если случайные ошибки велики, то они могут маскировать искомую зависимость и выявить ее бывает нелегко.

Без ограничения общности можно считать, что величина х измеряется точно. В самом деле, если г от л; не зависит, то ошибка 6х ни на что Не влияет. Если же зависимость существует, то ошибка Ьх эквивалентна дополнительной ошибке зависимой переменной бг = (dz/dx) Ьх.

Таким образом, достаточно рассмотреть случайную величину 1,{х), зависящую от х как от параметра. Математическое ожидание этой величины {х) = г (х) зависит от х; эта зависимость является искомой и называется законом регрессии.

Дисперсионный анализ. Проведем при каждом значении Xi небольшую серию измерений и определим Zij {ljsni). Рассмотрим два способа обработки этих данных, позволяющих исследовать, имеется ли значимая (т. е. с принятой доверительной вероятностью) зависимость z от х.

При первом способе вычисляют стандарты выборки единичного измерения по каждой серии отдельно и по всей совокупности измерений:

"i

/=1 i, /

где NHi - полное число измерений, а

у = 1 i, /

ЯВЛЯЮТСЯ средними значениями соответственно по каждой серии и по всей совокупности измерений.

Сравним дисперсию совокупности измерений as с дисперсиями отдельных серий aisj. Если окажется, что при выбранном уровне достоверности ро можно считать сг>СТ/ для всех i, то зависимость г от х имеется. Если достоверного превышения

нет, то зависимость не поддается обнаружению (при данной точности эксперимента и принятом способе обработки).

Дисперсии сравнивают по критерию Фишера (30). Поскольку стандарт s определен по полному числу измерений N, которое обычно достаточно велико, то почти всегда можно пользоваться коэффициентами Фишера F (со, т; р), приведенными в таблице 25.

Второй способ анализа заключается в сравнении средних Zj при разных значениях между собой. Величины 2,- являются случайными и независимыми, причем их собственные стандарты выборки равны

Поэтому их сравнивают по схеме независимых измерений, описанной в п. 3. Если различия г,- значимы, т. е. превышают доверительный интервал, то факт зависимости z от х установлен; если различия всех z,- незначимы, то зависимость не поддается обнаружению.

Многофакторный анализ имеет некоторые особенности. Величину z{x, у) целесообразно измерять в узлах прямоугольной сетки (Xi, у If), чтобы удобнее было исследовать зависимость от одного аргумента, фиксируя другой аргумент. Проводить серию измерений в каждом узле многомерной сетки слишком трудоемко. Достаточно провести серии измерений в нескольких узлах сетки, чтобы оценить дисперсию единичного измерения; в остальных узлах можно ограничиться однократными измерениями. Диспер-срюнный анализ при этом проводят по первому способу.

Замечание I. Если измерений много, то в обоих способах отдельные измерения или серии могут с заметной вероятностью довольно сильно отклониться от своего математического ожидания. Это надо учитывать, выбирая доверительную вероятность Ро достаточно близкой к 1 (как это делалось в п.2 при установлении пределов, отделяющих допустимые случайные ошибки от грубых).

Анализ регрессии. Пусть дисперсионный анализ указал, что зависимость z от х есть. Как ее количественно описать?

Для этого аппроксимируем искомую зависимость некоторой функцией z(x)f{x, а), a = {ai, а, а]- Оптимальные значения параметров найдем методом наименьших квадратов, решая задачу

2 W (Xi) [Zi - f (Xi, a)f = min, (34)

i= 1

где w (Xi) - веса измерений, выбираемые обратно пропорционально квадрату погрешности измерения в данной точке (т. е. (Dzi)). Эта задача была разобрана в главе II, § 2. Остановимся здесь лишь на тех особенностях, которые вызваны присутствием больших случайных ошибок.