Замечание 3. Алгебраический многочлен Р„{х) ~ ах

наилучшего среднеквадратичного приближения обладает свойством, напоминающим лагранжеву интерполяцию: разность у{х) - - Рп(х)- на интервале (а, Ь) имеет не менее п-\-\ нуля. В самом

Рис. 12.

деле, предположим обратное: нули этой разности суть лгу, где /=1, 2,..., тп. Составим многочлен

тогда произведение [у (х) - Pn(x)]Qm{x) не меняет знак, следовательно,

\ Р W [у (X) - W] Qm (х) dx = b, [{х, г/) - Е (х, х") а,] Ф 0.

Но если в (38) положить ф/, (х) = х*, то квадратные скобки в сумме должны обратиться в нуль. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.

3, Суммирование рядов Фурье. Нахождение наилучшего приближения приводит к суммированию рядов. Казалось бы, просуммировать ряд нетрудно. Но, во-первых, он далеко не всегда сходится равномерно, даже при наличии сходимости в каждой точке. Так, если ц{х) = \ на первой половине периода и у(х) = 0 на второй, то максимум частной суммы тригонометрического ряда Фурье стремится к 1,09 при /г->-оо (явление Гиббса, рис. 12), хотя в любой точке, кроме точки разрыва, этот ряд сходится к функции.

Во-вторых, если надо суммировать много членов ряда, то происходит большое накопление погрешности входных данных и даже погрешности округления. Например, ряд Тейлора для y(x) = smx сходится при любых значениях аргумента. Вычислим sin 2550°, используя ЭВМ с 16 значащими цифрами и прекращая вычисления, когда очередной член ряда будет менее Ю. Получим бессмысленный ответ: sin 2550° = 29,5!

Причина состоит в том, что вычисления с заданным количеством цифр эквивалентны внесению погрешности в коэффициенты ряда. Погрешности вносятся и в том случае, если находить коэффициенты по формулам (39) не аналитически, а численно. А бесконечные ряды, вообще говоря, неустойчивы по отношению к погрешности коэффициентов. В самом деле, изменим все коэффициенты, й/, ряда Фурье на малые величины еф/, (); тогда сумма ряда изменится на

2 ефд(л;)фЛ1)==еб(л;-),

Т. е. при х - изменение суммы бесконечно велико. Таким образом, суммирование бесконечного ряда Фурье является некорректной задачей, и требуется какая-то регуляризацчя суммирования.

Регуляризация по числу членов. Простейшей регуляризацией является использование небольшого отрезка ряда

N (е)

Ф(л-; Л?)= 2 «АФ/е

где верхний предел суммирования есть функция ошибок е отдельных коэффициентов. Чем меньше е, тем больше допустимое (е).

Оценим оптимальное число членов для Тригонометрического ряда Фурье. Ошибка из-за отбрасывания далеких членЬв ряда равна

а ошибка из-за погрешности коэффициентов составляет

5г= 2 бйлфИ-)-

ft=i

При увеличении на единицу первая ошибка убывает на величину а.у+хФл-и (-«). а вторая возрастает на бал+1Фл+1 (х). Очевидно, при малых N коэффициенты Oj велики, и преобладает убывание первой ошибки, а при достаточно больших преобладает возрастание второй. Оптимальной является ситуация, когда

Р (х) - [+ Я {X)] Ф {X) = 0, ф (а) = ф (Ь) = О,

то сумму обобщенного ряда Фурье следует заменить на

да а = 1

Поскольку собственные значения положительны и быстро растут при k-oo, то ошибки на высоких частотах хорошо подавляются. В главе XIV, § 2 будет показано, что суммирование ряда (40) устойчиво, а сумма ф(л:; а) равномерно сходится

скорости изменения этих ошибок равны, т. е. при а+ба+х-Получается естественный вывод: надо суммировать только те члены ряда, коэффициенты а которых превышают уровень ошибки SOft. Суммирование следующих членов ряда только ухудшает точность и может привести к бессмысленному результату, как видно из примера с вычислением sin 2550° (в котором роль ошибок коэффициентов играют погрешности округления при вычислении максимальных членов суммы).

Ранее отмечалось, что если у{х) имеет ограниченную р-ю производную, то алг = 0(Л"<р+>). Отсюда следует, что по порядку величины оптимальное число членов iV = 0(Sa-/<p+"), а достигаемая при этом погрешность б + баО (ба/(р + ). Для достаточно гладких функций оптимальное число членов оказывается небольшим и при уменьшении 8а растет, но довольно медленно. Достигаемая точность тем выше, чем более высокие производные имеет функция.

Регуляризация форм - фактором. Описанный способ напоминает обрезание шумов в радиотехнике. Но подавлять шумы можно и с помощью форм-фактора, лишь ослабляющего высокие частоты. Для этого каждый член ряда (37) делят на соответственно подобранную величину l + b и суммируют достаточно большое число членов ряда

Y а,щ(х)/{1+Ь,), bkO,

а- 1

где при малых номерах bkO, а при больших номерах они достаточно быстро возрастают, причем Ь-оо. Регуляризация по числу членов означает, что выбрано bk = 0 при Л и bk = oo при k>N. Естественный способ выбора регуляризирую-щих множцтелей предложил А. Н. Тихонов [44], показавший, что если ортогональная система (л:) есть система собственных функций задачи Штурма -Лиувилля: