Ei (X) :

ая = 6«=1. (51)

где не полиномиальная часть асимптотики выделена отдельным множителем. Оказывается, уже /г = 3, т. е. шесть свободных коэффициентов обеспечивают точность 10-4%.

Отметим, что рациональными функциями при небольшом числе коэффициентов можно удовлетворительно аппроксимировать функции с разрывами производной вроде у{х) = \х\, которые плохо поддаются аппроксимации другими способами.

Первый ряд абсолютно сходится, но при х>1 сходимость очень медленная; второй ряд сходится асимптотически при больших значениях х. Заменяя первые члены каждого ряда дробями, получим

Ф(х)7=- при д:1,

Vni+x)

Ф(х)\--т=--е~ при хХ.

В указанных диапазонах изменения аргумента погрешность первой формулы не превышает 0,4%, а погрешность второй формулы -2,4%. Таким образом, точность этих аппроксимаций вполне достаточна для многих практических приложений.

в) Положим {/(х) = arctg j: при 0s£;ic <оо. Эта функция монотонна, причем у(х)х при х-»-О и у(+со) = я/2. Легко построить дробь

{х) = х/{\+хУ

удовлетворяющую тем же условиям. Она дает грубую аппроксимацию арктангенса; локальная погрешность в точке д:==1 составляет 30%. Несложное видоизменение этой формулы

arctg хх/у\+[~х

дает вчетверо лучшую точность.

г) Тангенс в первой четверти можно грубо аппроксимировать формулой

igxx/[~-x

передающей поведение вблизи нуля и наличие полюса при л: = я/2.

д) В задачах рассеяния часто встречается одна из специальных функций - интегральная экспонента:

со 00

X k=l

Ряд, в который она разлагается, сходится при любых положительных значениях аргумента. Но только при д;1 сходимость достаточно быстрая, и ряд пригоден для вычисления функции. Если учесть асимптотику Ei (д:) =:е--/л: при х-со, то рациональную аппроксимацию при л; 3=1 целесообразно искать в следующем виде:

§ 3., Равномерное приближение

1. Наилучшие приближения. Поскольку чебышевская норма сильнее нормы Lp, то принято считать, что равномерная аппроксимация лучше аппроксимации в среднем. Поэтому поиску равномерных и особенно наилучших равномерных приближений, определяемых условием

А (у, (р) = т\п, где А (у, ф) = max \ у (х) - (р (х) \, (52)

где минимум ищется на множестве функций (р{х), посвящено много работ. В частности, получены следующие результаты (доказательства большинства из них приведены в учебнике И. С. Березина и Н. П. Жидкова [4]).

а) Если выбрана линейная аппроксимация (37) с чебышевской системой функций (fk(x), то равномерное наилучшее приближение единственно *). Доказательство существования наилучшего приближения для этого случая было приведено в § 2, п. 1.

б) Чтобы обобщенный многочлен ф (х) по чебышевской системе функций Ф;, (л), 1 scfescji, был наилучшим равномерным приближением к у (х) на [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы на этом отрезке нашлось не менее п + 1 таких точек, в которых погрешность 6 (х) = у (х) - (f> (х) попеременно принимает значения -f Д и - Д(г/, ф). Следовательно, погрешность имеет на (п, Ь) не менее я нулей, как и у многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения. Впервые этот результат был получен П. Л. Чебышевым в 1859 г. для алгебраических многочленов.

в) Для функции у (х), имеющей р непрерывных производных, причем уР(х) удовлетворяет условию Липшица с константой 1р, Д. Джексоном в 1911 г. получены некоторые оценки скорости сходимости наилучших равномерных приближений. При аппроксимации алгебраическим многочленом д-й степени на отрезке -1 гсгс 1:

Д« (адР+1/р/[К2л (р + 1) йР+1] = О (1/nP+i), (53)

а при аппроксимации периодической функции с периодом 2я тригонометрическим многочленом такой же степени:

An =s= lp (Coln)P = 0(1 /лР«), (54)

где Cq -универсальная константа (с(,<137). С. Н. Бернштейн доказал, что из сходимости приближений со скоростью О (1/«P+i+), е > О, следует наличие у функции ограниченной р--1-й производной, поэтому оценки Джексона почти неулучшаемы.

Таким образом, эти приближения для достаточно гладких функций быстро сходятся при ft-vco, а для липшиц-непрерьшных, но не гладких функций следует полагать р = О, т. е. для них приближения сходятся медленно. Для произвольной функции, неарёрывиой на конечном отрезке axsb, равномерные приближения алгебраическими и тригонометрическими многочленами также сходятся (теорема, доказанная К- Вейерштрассом в 1885 г<; но скорость сходимости, как показал С. И. Бернштейн в 1938 г., может быть сколь угодно малой. Именно,, как бы медленно ни убывали члены монотонной последовательности б„-0, fi„ 5-; б„.ц: > О, всегда найдется такая непрерывная функция ГУ (ж), для которой Д (»/, P„(x)) = 6„. Соответствующая оценка Джексона для алгебраической аппроксимации произвольной функции, непрерывной

S 3] РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 67

при -1 1 (и тем самым равномерно-непрерывной), есть

Дл=ее/2Со + 2)со(2/п), (55)

а для тригонометрической аппроксимации непрерывной функции с периодом 2л:

Д«г=(2Со + 2)и(2л/п), (56)

где ш -модуль непрерывности функции.

Наилучшее равномерное приближение рациональной функцией (отношением многочленов) имеет такой же порядок точности, как в оценках (53)-(56), где под п надо подразумевать полное число свободных коэффициентов, которое на единицу меньше суммарной степени числителя и знаменателя.

г) Многочлены наилучшего равномерного приближения не обеспечивают хорошей сходимости (а иногда и просто сходимости) производных ф (х) к у (х). Если нужна сходимость производных, то приходится строить другие многочлены, которые имеют меньшую скорость сходимости Например, многочлены С. Н. Бернштейна

5„ (X) = У С* (1 -xY-K х*г/ f 4) , о X s£ 1, (57)

равномерно сходятся к любой непрерывной функции у (х), но не быстрее чем 0(1/п), сколь бы гладкой функция ни была; зато если существует непрерывная процзводная у" (х), то производные многочленов С. Н. Бернштейна В- {х) равномерно сходятся к ней на указанном отрезке при п->оо.

д) Наибольший практический интерес представляет соотношение между точностями, достигаемыми при наилучшей равномерной и наилучшей среднеквадратичной аппроксимациях. Пусть для произвольной функции у (х) с периодом 2я тригонометрический многочлен наилучшего равномерного приближения есть Rn{x). Доказано (см. монографию В. Л. Гончарова [9], стр. 186), что тригонометрический многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения той же степени Q„{x) имеет погрешность не более:

\\У (X) - Qn (хПс (4,5 + In п)\\у (X) - R„ (х)с. (58)

Сходные оценки существуют и для наилучших аппроксимаций алгебраическими многочленами на отрезке - lxsgl. Из неравенства (58) следует, что при небольших п погрешность многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения даже в • с несильно превосходит погрешность многочленов наилучшего равномерного приближения (например, при 12 не более чем в 7 раз).

Из оценок (53)-(56) следует, что для функций с непрерывными старшими производными, не слишком большими по абсолютной величине, наилучшие равномерные .приближения обеспечивают высокую точность уже при небольших и«=!5-ь10. Значит, для таких функций наилучшие среднеквадратичные приближения будут обеспечивать в • с почти ту же точность, что и наилучшие равномерные приближения. Только для недостаточно гладких функций