И аналогично = (л;о + -1 +ла)/3 + 0 С)-Это означает, что узел х расположен вблизи точки повышенной точности для этих узлов, в окрестности размером 0{h). Из сделанного в п. 2 замечания следует, что одночленные формулы (2), рассчитанные на произвольную сетку:

в узлах квазиравномерной сетки обеспечивают точность 0{1г). Пользоваться в этом случае формулами типа (7), рассчитанными на равномерную сетку, не следует -на квазиравномерной сетке их точность будет хуже.

На квазиравномерных сетках справедливо разложение остаточного члена в ряд (17), если порождающее сетки преобразование x = l{t) достаточное число раз непрерывно дифференцируемо. В этом случае для повышения точности расчетов можно употреблять метод Рунге - Ромберга, подставляя в формулы (16) -(18) вместо h величину 1/N. Для квазиравномерных сеток этот метод особенно выгоден, ибо для них прямые формулы высокого порядка точности очень громоздки.

Только в одном пункте квазиравномерные сетки уступают равномерным. На них ряд для остаточного члена (17) даже в случае симметричной формулы содержит обычно все степени \JN, поэтому каждая лишняя сетка позволяет повысить порядок точности лишь на единицу, а не на двойку.

Квазиравномерные сетки часто используют при решении сложных задач математической физики, когда необходимо при малом числе узлов детально передать особенности решения.

5. Быстропеременные функции. Если функция (точнее, ее разделенные разности) значительно меняется на протяжении нескольких интервалов сетки, то интерполяция обобщенным многочленом обычно недостаточно точна для дифференцирования этой функции. Для таких функций особенно полезна квазилинейная интерполяция, производимая при помощи выравнивающих переменных.

Если (л:), т) (у) - выравнивающие переменные, то для искомой производной справедливо соотношение

= (21)

Выравнивающие преобразования подбирают несложными, чтобы их производные находились точно. Остается только численно найти т) способами, изложенными в предыдущих пунктах.

Например, пусть имеются таблицы энергии Е (Г, р) многократно ионизованной плазмы тяжелых атомов. Рассмотрим нахождение теплоемкости с, = = {дЕ1дТ)-ц; она отличается от теплоемкости идеального газа, поскольку в нее входит энергия, идущая на отрыв от ионного остова новых электронов при повышении температуры. Ранее упоминалось, что зависимость Е (Г) напоминает степенную со слабо переменным показателем и выравнивающим является пре-

образование ц = 1пЕ, = 1пТ. Легко видеть, что формула (21) принимает вид

с„= (Е/Т) ц{Е1Т) [д (1п Е)1д (In Г)]; последнюю производную находят численным дифференцированием (см. задачу 7).

Если в исходных переменных сетка была равномерной или квазиравномерной, то обычно она квазиравномерна и в выравнивающих переменных, ибо выравнивающее преобразование на ограниченном отрезке почти всегда обладает требуемыми свойствами производных. В этом случае результат можно уточнять методом Рунге - Ромберга.

Формула двукратного дифференцирования при помощи выравнивающих переменных достаточно сложна:

у"хх=[ы+Их? 4i - (ичтму.

(22)

и ее применение не всегда обеспечивает хорошую точность. Но для быстропеременной функции двукратное дифференцирование интерполяционного многочлена Лагранжа еще более ненадежно. Поэтому вторую и более высокие производные быстропеременной функции трудно найти численно.

6. Регуляризация дифференцирования. При численном дифференцировании приходится вычитать друг из друга близкие значения функции. Это приводит к уничтожению первых значащих цифр, т. е. к потере части достоверных знаков числа. Если значения функции известны с малой точностью, то встает естественный вопрос - останется ли в ответе хоть один достоверный знак?.

Для ответа на этот вопрос исследуем ошибки при численном дифференцировании. При интерполировании обобщенным многочленом производная k-ro порядка определяется согласно (2)-(3) формулой типа

(х) = h-x 2 с, (х) у (Хд) + R, (х). С, (х) = О (1). (23)

Рис. 15.

Если формула имеет порядок точности р, то, значит, ее остаточный член равен (х) С (х) Iip. Этот остаточный член определяет погрешность метода, и он неограниченно убывает при /;->0. Его зависимость от шага изображена на рис. 15 жирной линией.

Меньший шаг невыгоден, а меньшая погрешность, вообще говоря, недостижима (хотя отдельные вычисления случайно окажутся более точными, но мы этого не сможем узнать). Эта минимальная ошибка тем меньше, чем меньше погрешность входных данных и порядок вычисляемой производной и чем выше порядок точности формулы.

Очевидно, при Ьу{х)-0 можно получить сколь угодно высокую точность результата, если шаг стремится к нулю, будучи всегда не менее h(,(8). Но если допустить (б), то результат пре-

дельного перехода может быть неправильным.

Эта тонкость связана с некорректностью задачи дифференцирования. Рассмотрим погрешность входных данных вида Ьу(х) = - т~ sinmx. Она приводит к погрешности первой производной бг/ (х) = т cos тН. При ш -> со погрешность функции в • с не-ограниченно убывает, а погрешность производной в той же норме неограниченно растет. Значит, нет непрерывной зависимости производной от функции, т. е. дифференцирование некорректно. Особенно сильно это сказывается при нахождении производных высокого порядка.

Но есть еще неустранимая погрешность, связанная с погрешностью функции 6t/(x). Поскольку точный вид этой погрешности неизвестен, можно оценить только мажоранту неустранимой погрешности /-/( = 6-/г* е 1? 1 неограниченно возрастает при /г->0 ч

(тонкая линия на рис. 15). Фактически же неустранимая погрешность будет нерегулярно зависеть от величины шага, беспорядочно осциллируя в границах, определяемых мажорантой (точки на рис. 15).

Пока шаг достаточно велик, при его убывании неустранимая погрешность мала по сравнению с погрешностью метода; поэтому полная погрешность убывает. При дальнейшем уменьшении шага неустранимая погрешность становится заметной, что проявляется в не вполне регулярной зависимости результатов вычислений от величины шага. Наконец, при достаточно малом шаге неустранимая погрешность становится преобладающей, и при дальнейшем уменьшении шага результат вычислений становится все менее достоверным.

Полная погрешность мажорируется суммой+ (штриховая кривая на рисунке). Оптимальным будет шаг, соответствующий минимуму этой кривой. Нетрудно подсчитать, что

ho (б) = (кЬ\ С, /рС]<+> = 0 (6"/"+*)),

(24)

min {Rk + г,) = CAf f 1 + 4) = О (бРЛр+й).