получим формулу численного интегрирования {квадратурную формулу)

i==0

Ci = \ ф< {x) p (x) dx, R = \r {x) p (x) dx.

где величины Xi называют узлами, Ci -весами, г. R -погрешностью или остаточным членом формулы. Интеграл приближенно заменяется суммой, похожей на интегральную сумму, причем узлы и коэффициенты этой суммы не зависят от функции f{x). Интерполяционный многочлен (2) может быть не только лагранжева, но и эрмитова типа; в последнем случае в сумму (3) войдут производные функции в узлах.

Лучше всего изучена замена f (х) алгебраическим многочленом; она рассматривается в этом параграфе. Обычно будем полагать р (х) = 1. Случаи не единичного веса будут особо оговариваться.

2. Формула трапеций. Заменим функцию на отрезке [а, Ь] многочленом Лагранжа первой степени с узлами х - а, хЬ. Это соответствует замене кривой на секущую. Искомый интеграл, равный площади криволинейной фигуры, заменяется на площадь трапеции (рис. 16); из геометрических соображений нетрудно написать для него формулу трапеций

Рис. 16.

f = J /(X) dx\{b~a)\!ia)+f ф)].

Это одна из простейших квадратурных формул. Найдем ее погрешность. Для этого разложим /(х) по формуле Тейлора, выбирая середину отрезка за центр разложения и предполагая наличие у функции требуемых по ходу рассуждений непрерывных производных:

/(X) = /(X) + (х-х)/ (х) + 1 (х-x)V"(х) + ..., х=={а + Ь).

Погрешность есть разность точного и приближенного значений интеграла. Подставляя в (4) разложение (5), получим главный

о /V

j / {х) dx у 2 - -i) (/"-1+•

i = 1

1= 1

На равномерной сетке она упрощается:

5 / (X) dx /г (i- fo + /i + /г + • • + fNi + -Улг), а

h = Xi - x,- j = const.

Поскольку в оценке (6) были отброшены члены, содержащие более высокие степени длины интервала, то выражение остаточного члена (8) является асимптотическим, т. е. выполняющимся при с точностью до членов более высокого порядка мало-

сти. Но для справедливости этой оценки необходимо существование непрерывной /"(х); если /" (х) кусочно-непрерывна, то удается сделать лишь мажорантную оценку

\R\hm, Afa = max/"(x). (9)

[о, 6]

член погрешности

Rf{x)dx-[fia) + f ф}] -~Ф- aff" {X), (6)

где члены, отброшенные при замене точного равенства приближенным, содержат старшие производные и более высокие степени длины отрезка интегрирования. Заметим, что содержащие f {х) и / (,?) члены разложения (5) уничтожились и не дали вклада в погрешность; это нетрудно было предвидеть, ибо формула трапеций по самому выводу точна для многочлена первой степени.

Вообще говоря, длина отрезка Ь -а не мала, поэтому остаточный член (6) может быть велик. Для повышения точности на отрезке {а, Ь] вводят достаточно густую сетку а = л;,, < х < Ха <... ...<Xn = Ь. Интеграл разбивают на сумму интегралов по шагам сетки и к каждому шагу применяют формулу (4). Получают обобщенную формулу трапеций

f;:«i[4,pan(A)-tpan(2A)] =

/1 1 \ I \ 1

4А (-2/о+/i + 2" /2) -2А -2- /о + у /з

= --Л (/о4-4/1 +/г). h=Xi-Xui.

Обобщенная формула Симпсона для равномерной сетки и четного числа шагов N имеет вид

=-T(o + 4/i + 2A,+4/3 + 2/ + ... + 2/.,-f4/. + /,). (12)

Для квазиравномерных или произвольных неравномерных сеток формул такого типа не составляют.

Исключение главного члена погрешности формулы трапеций означает, что мы перешли к аппроксимации параболой, и формула Симдсона точна для любого многочлена второй степени. Однако нетрудно проверить, что для f (л:) = д;3 эта формула также дает точный результат, т. е. она точна для многочлена третьей степени! Это объясняется тем, что на равномерной сетке остаточный член формулы трапеций разлагается только по четным степеням шага и однократное применение метода Рунге увеличивает порядок точности на два.

Как и для формулы трапеций, погрешность формулы Симпсона вычисляется подстановкой разложе1шя (5), в котором теперь надо удержать большее число членов и для ка>кдой пары интервалов (xj-i, л:;) и (jcj, xj+j) за центр разложения взять узел Xi. Из предыдущего рассуждения видно, что главный вклад в погрешность дает только пятый член разложения (1/24) (x~Xiff (х{). Подставляя этот член в выражение суммарной погрешности двух соседних

Таким образом, обобщенная формула трапеций имеет второй порядок точности относительно шага сетки. На равномерной сетке это видно непрсредственно, а на квазиравномерной сетке, порожденной преобразованием x = l(t), остаточный член (7) можно привести к виду

R-Tl(ld4"(x)dx, (10)

если используемые в этой формуле производные непрерывны. Для произвольной неравномерной сетки асимптотическая оценка в виде суммы (7) справедлива, но неудобна для использования; можно пользоваться мажорантной оценкой (9), подразумевая под шагом h - max (xi - Xi).

3. Формула Симпсона. Вычислим интеграл по обобщенной формуле трапеций сначала на равномерной сетке с шагом h, а затем на сетке с вдвое более крупным шагом; вторая сетка получается из первой выбрасыванием узлов через один. Из вида остаточного члена (8) следует, что результат, полученный по формуле, трапеций, можно уточнять методом Рунге. Проводя гакое уточнение для отрезка, содержащего узлы х, Xi, х<>, получим формулу Симпсона