интервалов, легко найдем

f W dx- A (/,vi + 4/; + /,-4-l)=«- / {Xi)-

После суммирования по парам соседних интервалов получим

(13)

Таблица 9

т. е. формула Симпсдна имеет четвертый порядок точности, а численный коэф-фшшент в остаточном члене очень мал. Благодаря этим обстоятельствам формула Симпсона обычно дает хорошую точность при сравнительно небольшом числе узлов (если четвертая производная функции не слишком велика).

Асимптотическая оценка (13) выведена в предположении существования непрерывной четвертой производной. Если / (х) кусочно-непрерывна, то справедлива только мажорантная оценка, аналогичная (9).

Пример. Вычислим интеграл f = e* 1,7183. В таблице 9 приве-

дены результаты вычислений по формулам трапеций и Симпсона при разных шагах. Вторая формула обеспечивает гораздо более высокую точность при том же шаге.

Заметим, однако, что формулу Симпсона можно было вообще не вводить. Проведем расчеты по формуле трапеций на последовательности сгущающихся вдвое сеток и применим однократный процесс Рунге не к формуле, а непосредственно к найденному на каждой сетке значению интеграла. Результат будет тот же, что и при расчете по

формуле Симпсона; попутно-будет оценена фактическая погрешность формулы трапеций.

К самой формуле Симпсона, как следует из вида ее остаточного члена, тоже можно применять метод Рунге. Это эквивалентно применению рекуррентного процесса Рунге к формуле трапеций.

4. Формула средних. Если на отрезке [а, Ь] взять единственный узел квадратурноц формулы х, то, функция аппроксимируется многочленом нулевой степени - константой / (Хц). Поскольку симметрия формулы численного интегрирования приводит к повышению ее точности, то выберем в качестве единственного узла середину отрезка интегрирования x = V2(a+b). Приближенно заменяя площадь криволинейной трапеции площадью прямоуголь-Ш1ка (рис. 17), получим формулу средних

F=f(x)dx{b-a)f{x), x = {a+b).

(14)

Погрешность этой формулы вычислим стандартным приемом - подстановкой разложения (5); в данном случае за центр разложения надо брать середину отрезка, т. е. узел квадратурной

формулы. Несложные выкладки показывают, что

R=\f{x)dx-{b-a}f{x):

-ф-affix). (15)

При вычислении уничтожился не только первый, но и второй член разложения Тейлора. Это связано с симметричным построением формулы средних и означает, что формула точна для любой линейной функции.

Так же как и для формулы трапеций, для повышения точности вводится достаточно подробная сетка Xi и составляется обобщенная формула средних

Xi+Xi-i

2 {xi-x,iff"{U. (16)

г = 1

На равномерной сетке она имеет вид

Fh 2 Д--./2. R~\nx)dx.

(17)

i= 1

Замечание 1. Остаточный член формулы средних примерно вдвое меньше, чем у формулы трапеций. Поэтому если значения функции одинаково легко определяются в любых точках, то лучше вести расчет по более точной формуле средних. Формулу трапеций употребляют в тех случаях, когда функция задана только в узлах сетки, а в серединах интервалов неизвестна.

Замечание 2. Знаки главного члена погрешности у формул трапеций и средних разные. Поэтому, если есть расчеты по обеим формулам, то точное значение интеграла лежит, как правило, в вилке между ними. Деление этой вилки в отношении 2:1 дает уточненный результат, соответствующий формуле Симпсона.

Замечание 3. К формуле средних тоже можно применять метод Рунге и либо непосредственно уточнять значение интеграла, либо строить формулы повышенной точности. Те формулы, которые при этом будут получаться, и те, которые были рассмотрены в предыдущих пунктах, - частные случаи так называемых формул Котеса.

R\f{x)dx-\{b-a)[f (й) -f / (Ь)] -~{Ь- а)\Г (а) - f (&)]

- {Ь-аГПх). (20)

Видно, что из-за симметрии формулы уничтожился член, содержащий /" (х); значит, формула Эйлера точна для многочлена третьей степени. Ее остаточный член имеет тот же вид, что и остаточный член формулы Симпсона; но его численный коэффициент в пересчете на один интервал оказывается вчетверо меньше.

Отметим, что остаточный член (20) можно выразить, аналогично (18), через разности третьих производных в узлах и т. д. Так строят формулы Эйлера- Маклорена высших порядков, но в практических вычислениях они применяются редко, и мы не будем их рассматривать.

Обобщенную формулу Эйлера можно написать на произвольной сетке. Особенно простой вид приобретает формула на равномерной сетке, ибо производные во внутренних узлах сетки при этом взаимно уничтожаются:

f/2(i/„ + /i + /2 + ... + fyV-l + )+~ft(/;-/),

1 с (21)

R-hP{x)dx. а

5. Формула Эйлера. Аппроксимация подынтегральной функции интерполяционным многочленом Эрмита приводит к квадратурным формулам, содержащим производные в узлах. Мы не будем рассматривать общий случай и выведем только формулу с первой производной. Для этого приближенно выразим остаточный член формулы трапеций (6) через значения производных в узлах

Rr,.n-{Ь-аГ Г (x) (Ь -аГ [Г (а) - / (&)]. (18)

Прибавляя эту величину к правой части формулы трапеций, получим формулу Эйлера (или Эйлера- Маклорена)

F-(b-a) [f (а) + f (Ь)] + {b- af [/ (а) - / (Ь)]. (19)

Остаточный член этой формулы вычислим стандартной подстановкой разложения Тейлора для f{x). Предполагая существование непрерывной четвертой производной, выпишем в формуле (5) пять членов разложения и подставим их в, выражение погрешности. Выполнив выкладки, получим асимптотическую оценку