Ck = (Ь - а)/п, а положение узлов подбирается так, чтобы формула была точна для многочлена как можно более высокой степени. Однако серьезного практического значения эти формулы не имеют. Для функций высокой гладкости удобнее формулы Гаусса, а для недостаточно гладких функций - обобщенные формулы трапеций и средних.

9. Сходимость квадратурных формул. Стремится ли сумма (3) при поо к точному значению интеграла, и если стремится, то с какой скоростью?

Обобщенная формула средних (16) является интегральной суммой. Следовательно, для любой непрерывной функции она сходится к точному значению интеграла при стремлении к нулю max (Xi - Xij). Это справедливо и для обобщенной формулы трапеций (7). Она тоже является интегральной суммой, соответствующей несколько иному выбору интервалов: нулевой интервал-от Хо до xi/2,первый - от xi/2 до Хз,2, второй -от Хз/2 до

Х5/2 и т. д.

Обобщенная формула Симпсона получается линейной комбинацией двух обобщенных формул трапеций на равномерной сетке. При сгущении сетки каждая из последних формул сходится к общему пределу - точному значению интеграла. Значит, и формула Симпсона сходится для любой непрерывной функции.

Более тонкими рассуждениями можно доказать сходимость формул Гаусса - Кристоффеля при л->аэ для любой непрерывной функции.

Значительно сложнее вопрос о скорости сходимости; он связан с оценкой остаточного члена формул. Напомним, что если R = 0{W), то мы называем формулу сходящейся с р-и порядком точности.

В большинстве квадратурных формул мы находили вид главного члена погрешности; он выражался через интеграл от некоторой производной функции. Попутно мы отмечали, что если

заменить под интегралом производную на максимум ее модуля,

т. е. заменить fP {х)йх{Ъ - а) Мр, то мы получим мажорант-

ную оценку погрешности. Такие оценки определяют скорость сходимости. Согласно этим оценкам погрешность формул средних и трапеций есть 0(h), а формулы Симпсона - О (/г*).

Эти оценки пригодны, если функция имеет ту производную, которая входит в оценку остаточного члена, причем эта производная соответственно непрерывна или кусочно-непрерывна. Наличие у функции более высоких производных не улучшает оценку. Зато если у функции нет требуемой ограниченной производной, то сходимость может быть хуже, как мы видели в примере из п. 6.

Скорость сходимости наиболее распространенных квадратург ных формул для недостаточно гладких функций сейчас хорошо изучена. В таблице 13 приведены полученные в [25] мажорантные оценки погрешности некоторых формул на классе функций, имеющих на [а, Ь] кусочно-непрерывную р-ю производную, ограниченную по модулю константой Мр (примерно такие же оценки получаются, если (х) не ограничена, но интегрируема с квадратом). Стрелка в таблице 13 означает перенос оценки из предыдущего столбца.

Таблица 13

Из таблицы 13 видно, что для функций малой гладкости, имеющих лишь первую или вторую производную, лучшие результаты дает обобщенная формула средних. Для функций высокой гладкости выгодны формулы Гаусса (отметим, что для функций малой гладкости формулы Гаусса дают примерно ту же точность, что и простейшие формулы, но формулы Гаусса с большим числом узлов довольно сложны и поэтому невыгодны для таких функций). Простой и рекуррентный метод Рунге для обобщенных формул также, целесообразно применять только при достаточно высокой гладкости функций: если существует кусочно-непрерывная ограниченная /р* {х), то можно рассчитывать лишь на точность 0{hP).

Рассмотрим корректность численного интегрирования. Существование и единственность суммы (3) очевидны, и надо исследовать только устойчивость. Во всех рассмотренных выше формулах веса положительны, поэтому при варьировании подынтегральной функции вариация суммы не превышает

п / п \ Ь

6f 1= 2 kbfu Ц \си\

к = 0 \k = u

шах I 1 т\\ \ р (х) dx.

ft я

так что устойчивость по входным данным есть.

Строго говоря, квадратурные формулы (3) неустойчивы относительно ошибок округления. Эти ошибки носят случайный

характер, но в среднем растут, как Уп, при увеличении числа узлов, так что график полной ошибки похож на пунктирную линию на рис. 15. Но эта неустойчивость слабая, и она проявляется только при расчете с небольшим (3 - 5) числом цифр.

§ 2. Нестандартные формулы

I. Разрывные функции. Пусть функция и ее производные кусочно-непрерывны; в точках разрыва подразумевается суш,ест-вование односторонних производных всех требуемых порядков.

Разобьем отрезок [а, Ь] на отрезки так, чтобы на этих отрезках функция и некоторое число р ее низших производных были непрерывны; на концах этих отрезков в качестве значений функции и производных возьмем соответствующие односторонние пределы.

Представим интеграл в виде суммы интегралов по отрезкам непрерывности. Применим к каждому отрезку квадратурную формулу порядка точности q, qsp. Если одновременно и одинаково сгунать сетки на всех отрезках непрерывности, то порядок точности ответа будет q, как и для непрерывных достаточно гладких функций. В этом случае методом Рунге -Ромберга можно повысить порядок точности до р.

Если же применять квадратурные формулы к разрывным или не гладким функциям, не выделяя особые точки указанным образом, то при сгущении сетки сходимость хотя и будет, но с невысокой скоростью и без четко выраженного порядка точности. Мажорантную оценку ошибки вида О {ЬУ) при этом обычно можно найти, но асимптотической оценки вида Rah, как правило, не существует. При этом применять метод Рунге или процесс Эйткена будет нельзя.

Пример. Рассмотрим

F= \ (xx)dx = (7/3). -1

Здесь подынтегральная функция непрерывная и гладкая, но вторая производная имеет разрыв при х = 0. Если для этой функции выделить отрезки непрерывности, то формула Симпсона дает точный ответ. Если же сгущать равномерную сетку делением пополам, то точка х = 0 никогда не будет узловой и следует ожидать плохой сходимости. Это подтверждается расчетами, приведенными в таблице 14.

2* Нелинейные формулы. Ранее мы видели, что нелинейная аппроксимация может существенно повысить точность расчетов, особенно для быстропеременных функций. В случае интегрирования подбор подходящего приближения становится очень слож-