Главная Численные методы при исследовании физических задач



тяжести, вычисляемые по обычным формулам

S = dx dy, х = ~ xdxdy, у = у dt/. (47)

Разумеется, практическую ценность это имеет только для областей простой формы, где площадь и центр тяжести легко определяются; например, для треугольника, правильного многоугольника, трапеции. Но это значит, что обобщенную формулу (43) можно применять к областям, ограниченным ломаной линией, ибо такую область всегда можно разбить на прямоугольники и треугольники.

Для области с криволинейной границей формулу (43) применяют иным способом. Наложим на область G прямоугольную сетку (рис. 19). Те ячейки сетки, все точки которых принадлежат области, назовем внутренними; если часть точек ячейки принадлежит области, а часть -нет, то назовем ячейку граничной. Площадь внутренней ячейки равна произведению ее сторон. Площадью граничной ячейки будем считать площадь той ее части, которая попадает внутрь G; эту площадь вычислим приближенно, заменяя в пределах данной ячейки истинную границу области на хорду. Эти площади подставим в (43) и вычислим интеграл.

Оценим погрешность формулы (43). В каждой внутренней ячейке ошибка составляет О {N~) по отношению к значению интеграла по данной ячейке. В каждой граничной ячейке относительная ошибка есть 0(Л ), ибо центр прямоугольной ячейки не совпадает с центром тяжести входящей в,интеграл части. Но самих граничных ячеек примерно в N раз меньше, чем внутренних. Поэтому при суммировании по ячейкам общая погрешность будет О (N~), если функция дважды непрерывно дифференцируема, а граница области есть кусочно-гладкая кривая; это означает второй порядок точности.

Вычисление площади граничной ячейки довольно трудоемко, ибо требует определения положения границы внутри ячейки. Можно вычислять интегралы по граничным ячейкам более грубо или вообще не включать их в сумму (43). Погрешность при этом будет 0{N), и для хорошей точности потребуется более подробная сетка.

Метод ячеек переносится на большее число измерений. Мы видели, что к области произвольной формы его трудно применять; поэтому всегда желательно заменой переменных преобразо-

Рис. 19.



IZ i/f {i yj) (1/ = (48)

Например, если по каждому направлению выбрана обобщенная формула трапеций, а сетка равномерная, то веса кубатурной формулы равны Cijl{hxhy) = 1, /2 и соответственно для внутренних, граничных и угловых узлов сетки. Легко показать, что для дважды непрерывно дифференцируемых функций эта формула имеет второй порядок точности и к ней применим метод Рунге - Ромберга.

Вообще говоря, для разных направлений можно использовать квадратурные формулы разных порядков точности р и q. Тогда главный член погрешности имеет вид R = 0{hP + hy)- Это надо учитывать в методе Рунге: при сгущении сеток надо сохранять отношение /гР г* постоянным, чтобы закон убывания погрешности был известным. Многократно сгущать сетку при этом условии нелегко, если p=q; поэтому желательно для всех направлений использовать квадратурные формулы одинакового порядка точности.

Можно подобрать веса и положение линий сетки так, чтобы каждая одномерная квадратурная формула была точна для многочлена максимальной степени, т. е. была бы формулой Гаусса;

вать область интегрирования в прямоугольный параллелепипед (это относится практически ко всем методам вычисления кратных интегралов).

2. Последовательное интегрирование. Снова рассмотрим интеграл по прямоугольнику, разбитому сеткой на ячейки (рис. 18). Его можно вычислить последовательным интегрированием

I = \\f{x, tj)dxdy = \F{y)dy,

аа а

Каждый однократный интеграл легко вычисляется на данной сетке по квадратурным формулам типа (3). Последовательное интегрирование по обоим направлениям приводит к кубатурным формулам, которые являются прямым произведением одномерных квадратурных формул

F (yj) 2 Cif {Xi, yj), I = 2 CjF {у;).



I\\f{x, y)dxdy=\F{y)dy, а а

Ф2 (у)

F{y)= \ fix, y)dx.

Сначала вычислим интеграл по х вдоль каждой хорды по какой-нибудь одномерной квадратурной формуле, используя введенные узлы. Затем вычислим интеграл по у; здесь узлами будут служить проекции хорд на ось ординат.

При вычислении интеграла по у имеется одна тонкость. Если область ограничена гладкой кривой, то при t/->a Длина хорды стремится к нулю не линейно, а как Уу -а; значит, вблизи этой точки F(у) гУу - а. То же будет при ->р. Поэтому интегрировать непосредственно F (у) по формулам высокого порядка точности бессмысленно. Целесообразно выделить из F iy) основную особенность в виде веса р (г/) = У (Р - г/) {у -а), которому соответствуют ортогональные многочлены Чебышева второго рода

тогда

с = 1 (& - а) (Р - а) ъъ, Xi\{ab)Ub-a)b,

где 5, V -нули многочленов Лежандра и соответствующие веса. Эти формулы рассчитаны на функции высокой гладкости и дают для них большую экономию в числе узлов по сравнению с более

простыми формулами. Например, для т измерений кубатурная формула Симпсона с Ъ" узлами и

---* -формула (48)-(49) с 2™ узлами

> *-*~\?2(у} дают примерно одинаковую точ--•-•-« > \ ность, хотя формула Гаусса при i , t « t > \ m = 2 имеет вдвое меньше уз-\ ...7 лов, а при /п = 3 -втрое меньше, \у * * * * у чем кубатурная формула Симп-

1 Произвольная область.

Метод последовательного инте-Р"- 26. грирования можно прйменять к

области произвольной формы, например, с криволинейной границей. Для этого проведем через область хорды, параллельные оси х, и на них введем узлы, расположенные на каждой хорде так, как нам требуется (рис. 20). Представим интеграл в виде



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [36] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0215