2 fill, i, Zi)- (59)

Как найти случайную трехмерную точку с заданным распределением плотности по тройке равномерно распределенных случайных чисел Узь узг+1, Уз/+2 Для этого надо свести разыгрывание многомерной плотности к последовательным разыгрываниям одномерных случайных величин с плотностями R(x), R(y), R(z).

Для разыгрывания координаты х построим одномерную плотность распределения по этой координате при произвольных остальных координатах

+ со

R {х) = , Р {х, у, г) dy dz.

- 00

Очевидно, функция R (х) неотрицагельна и нормирована на единицу, т. е. удовлетворяет предъявляемым к плотности требованиям (51). Поэтому формула разыгрывания есть

7зг= ] R(x)dx.

- об

Теперь одна координата разыграна. Надо найти плотность распределения по второй координате при фиксированной первой координате и произвольной третьей. Если первую координату фиксировать, а по третьей проинтегрировать, то полученное выражение не удовлетворяет условию нормировки (интеграл по у не равен 1). Нормируя его, получим искомую плотность

R(y\ li)=R-Hli) S 9 (lb У, z)dz.

- CO

Вторая координата разыгрывается по формуле

7зм= \ RiV Iddy.

-- со

Плотность распределения по третьей координате при фиксированных первых двух координатах пропорциональна р (;, г). Для нормировки надо положить

R(z; Ь, 4) = R-Hli)K4ni-> li)9(lb г); тогда интеграл по г равен единице. Соответственно формула разыгрывания

оценки 0(iV-i/), получающейся при обычном применении метода Монте-Карло,.

Первый способ. Дисперсия второго способа велика, и обычно первый способ статистического вычисления интегралов точнее. Пусть р (х, у, г) О есть многомерная плотность распределения некоторой случайной величины. Тогда, аналогично одномерному случаю,

\fix, у, г)р{х, у, z)dxdydz = Mfil, ц, 0 о

имеет вид

- оо

Подставляя полученные координаты в (59), вычислим искомый интеграл. Все, что говорилось в п. 3 о точности расчета, полностью относится к многомерному случаю.

Нелегко подобрать такой вид плотности р(х, у, z), чтобы она содержала основные особенности подынтегральной функции и при этом явно бы вычислялись все интегралы, возникающие при разыгрывании координат. Обычно пытаются выделить плотность вида р(л:, у, z) = (х) (у) ps (г), ибо тогда каждая координата разыгрывается независимо от остальных по формуле вида (52), и легче подобрать интегрируемые выражения для одномерных плотностей; к общему виду прибегают, только если точность такого представления недостаточна.

Какими методами удобнее вычислять интегралы - сеточными или статистическими? Точность метода статистических испытаний невелика, и для однократных интегралов он явно невыгоден. Для многих измерений положение резко меняется.

Пусть функция т переменных интегрируется по сеточным формулам р-го порядка точности, причем сетка имеет п шагов по каждой переменной. Тогда полное число узлов есть N = n, а погрешность расчета е-п-Р (разумеется, предполагается существование р-х кусочно-непрерывных производных функции). Поэтому число узлов, требуемое для достижения данной точности е, есть ~ (1/е)"/Р; оно экспоненциально растет при увеличении числа измерений.

При интегрировании методом статистических испытаний погрешность 6~yV-/2. Поэтому полное число узлов есть М{1/г) независимо от числа измерений.

Очевидно, если число измерений т<с2р, то сеточные методы требуют меньшего числа узлов и более выгодны. Если т>2р, то статистические методы выгодней. И чем больше число измерений, тем больший выигрыш дают статистические методы.

В многомерном случае редко можно рассчитывать на,лучший , порядок точности, чем р = 2; тогда трехмерные интегралы выгодней вычислять сеточными методами, а пятимерные - уже статистическими. Если же функция имеет только первые производные, то р = 1, и статистические методы становятся выгодными даже для трехкратных интегралов.

6. Другие задачи. Методы статистических испытаний применяют не только - к численному интегрированию, а и во многих других случаях: задачи массового обслуживания, нахождение критических параметров ядерного реактора, расчет защиты от излучения и т. д.

Например, рассмотрим расчет наделности сложной конструкции, состоящей из многих элементов. Каждый элемент обычно испытывают на изготовляющем

его заводе и снимают так называемую кривую отказов (рис. 23, а); это вероятность выхода элемента из строя после t часов работы. Чтобы снять такую кривую, надо заставить большую партию элементов работать до поломки. Ясно, что испытывать так готовую конструкцию слишком дорого.

Рассмотрим конструкцию, состоящую из четырех элементов, причем поломка любого элемента выводит конструкцию из строя. Самый ненадежный элемент мы дублируем так, что после поломки элемента включается дублер (рис. 23, б). Тогда конструкция сломается, если сломаются оба третьих элемента или любой другой. Если время жизни отдельного элемента есть t/,, то время жизни конструкции равно

r = min (1, t-, 3 + 3, 4)- (60)

Проведем математическое испытание конструкции. Разыграем выход каждого элемента из строя при помощи равномерно распределенных случайных чисел Yi- Откладывая Yi на оси ординат кривой отка.адв первого элемента.

Рис. 23.

получим на оси абсцисс его время жизни (рис. 23, а). Время жизни второго элемента определим по числу Y2 и т. д.; разумеется, отказ каждого дублирующего элемента надо разыграть отдельно. Затем по формуле (60) наттдем время жизни конструкции в данном испытании.

Повторяя "такое испыгание много раз можно найти среднее время работы конструкции

и построить ее кривую отказов. Если надо испытать слегка измененную конструкцию, это можно сделать по той же программе, изменив в ней только формулу (60).

ЗАДАЧИ

1. Составить из обобщенных формул трапеций (8) и средних (17) такую линейную комбинацию, чтобы сократились главные части их погрешностей. Показать, что при этом получается обобщенная формула Симпсона (12).

2. Доказать для формулы трапеций на квазиравномерной сетке асимптотическую оценку погрешности (10).

3. Построить трехТочечные разностные выражения для / (х) на концах отрезка интегрирования. Подставляя их в формулу Эйлера (21), вывести квадратурную формулу Грегори. Найти погрешность этой формулы.

4. Для примера интегрирования функции f{x) = x х \, приведенного в таблице 14, найти по таблице 13 мажорантную оценку погрешности примененных квадратурных формул. Проверить, насколько фактическая ошибка