ней, ибо среди производящихся в нем действий есть извлечение корня, медленно выполняемое на ЭВМ.

Наиболее частый на практике случай эрмитовой матрицы - это вещественная симметричная матрица А. Тогда никаких комплексных чисел при вычислениях не возникает, так что матрица S тоже вещественная. Если вдобавок матрица А положительно определенная (для этого необходима и достаточна положительность всех ее главных миноров), то все с1ц=\, и формулы (16) -(19) можно немного упростить.

Расчет по формулам (16) невозможен, если при некотором значении индекса элемент 5, = 0 (в частности, 51 = 0 при «11 = 0). От этого можно избавиться, переставляя на место ак другой диагональный элемент ац Ф О, т. е. надо переставить и строки и столбцы, на пересечении которых лежат эти два элемента.

Метод квадратного корня применяют в основном при численном рещении интегральных уравнений Фредгольма с симметричным ядром, ибо эта задача сводится к линейной системе с симметричной матрицей, обычно не содержащей нулевых элементов (при регуляризации таких задач симметрия матрицы сохраняется).

7. Плохо обусловленные системы. Если система Лл: = & плохо обусловлена, то это значит, что погрешности коэффициентов матрицы и правых частей или погрешности округления при расчетах могут сильно исказить решение. Для уменьшения погрешностей округления можно было бы провести на ЭВМ расчет с двойным или тройным числом знаков. Но при наличии погрешности коэффициентов это бесполезно, и нужно регуляризовать исходную задачу.

Исходную систему (1) можно переписать в эквивалентной форме (Ах - Ъу Ах - Ь) = . Если коэффициенты матрицы или правые части известны не точно, то решение также является приближенным. Поэтому на самом деле мы можем требовать только приближенного равенства {Ах - Ь, Ах - Ь). Задача становится неопределенной, и для определенности надо добавить какие-то дополнительные условия.

Таким условием может быть требование, чтобы решение как можно меньше отклонялось от заданного вектора х, т. е. чтобы скалярное произведение {х - х, х - х было минимально. Тогда регуляризованная задача формулируется следующим образом:

{Ах - Ь, Ax - b)rx{x - Xo, л: -л:о) = т1п, а>0. (20а) Это можно переписать в эквивалентной форме

{X, ААх)-1{х, А"Ь) + ф, Ь) +

+ а[{х, х)-2{х, Хо) + {Хо, л:о)] = тш, (206)

где а -малый положительный управляющий параметр и Л-<

эрмитово сопряженная матрица. Варьируя х в [20), получим следующее уравнение:

{А"А-аЕ)х==А"Ь-аХо, (21)

где -единичная матрица. Решая его (например, методом исключения Гаусса), найдем регуляризованное значение Ха, зависящее от параметра а.

Остановимся на выборе параметра. Если а = О, то система (21) переходит в плохо обусловленную систему вида (1). Если же а велико, то регуляризованная система (21) будет хорошо обусловленной благодаря присутствию в левой части хорошо обусловленной матрицы аЕ; но сама система (21) при большом а сильно отличается от исходной системы, и регуляризованное решение Ха не будет близким к искомому решению. Поэтому слишком малое или слишком большое а непригодны. Очевидно, оптимальным будет наименьшее значение а, при котором обусловленность системы (21) еще удовлетворительна.

Для фактического нахождения оптимума вычисляют невязку Га - AX(i - b и сравнивают ее по норме с известной погрешностью правых частей и с влиянием погрешности коэффициентов матрицы ЬА X. Если а слишком велико, то невязка заметно больше этих погрешностей, если слишком мало -то заметно меньше. Проводят серию расчетов с различными а; оптимальным считают тот, в котором Га II II б& -f Ц бЛ-л: .

Для выбора Ха нужны дополнительные соображения; если их нет, то полагают л:о = 0.

Обоснование изложенного метода дано в главе XIV. Заметим, что матрица системы (21) эрмитова, так что для ее решения можно применять метод квадратного корня.

§ 2. Уравнение с одним неизвестным

1. Исследование уравнения. Пусть задана непрерывная функция / {х) и требуется найти все или некоторые корни уравнения

/(А)=0. (22)

Эта задача распадается на несколько задач. Во-первых, надо исследовать количество, характер и расположение корней. Во-вторых, найти приближенные значения корней. В-третьих, выбрать из них интересующие нас корни и вычислить их с требуемой точностью.

Первая и вторая задачи решаются аналитическими и графическими методами. Например, многочлен

Р„()= 1] ах"

4 = 0

имеет п комплексных корней, не обязательно различных, и все корни лежат внутри круга

Правда, эта оценка не оптимальная; модули всех корней могут быть много меньше правой части неравенства, в чем легко

убедиться на примере многочлена Р(л;)= (x - k).

ft = 1

Когда ищутся только, действительные корни уравнения, то полезно составить таблицу значений f{x). Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере один). Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один. Но выявить по таблице корни четной кратности сложно.

По таблице можно построить график функции у = f(x) и графически найти точки его пересечения с осью абсцисс. Этот способ более нагляден и дает неплохие приближенные значения корней. Во многих -задачах техники такая точность уже достаточна. В технике еще популярны графические методы решения уравнений (номография). Построение графика зачастую позволяет выявить даже корни четной кратности.

Иногда удается заменить уравнение (22) эквивалентным ему уравнением ф(х)=ф(х), в котором функции у = (р(х) иг/2 = () имеют несложные графики. Например, уравнение xsinx-1 = 0 удобно преобразовать к виду sinA:=l/x. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут корнями исходного уравнения.

Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами. Рассмотрим наиболее эффективные из них.

2. Дихотомия (деление пополам). Пусть мы нашли такие точки Хо, х, что / (хо) / (Xj) О, т. е. на отрезке [Xq, xJ лежит не менее одного корня уравнения. Найдем середину отрезка х. = (Xo + Xi)/2 и вычислим / (ха). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой f (Ха) f (Хрраи) О, ибо один из корней лежит на этой половине. Затем новый отрезок опять делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д. (рис. 26).

Если требуется найти корень с точностью е, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2е. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью.

Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций f{x), в том числе недифференцируемых; при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости невелика: за одну итерацию точность