Главная Численные методы при исследовании физических задач



- счеты. Исходные данные содержали мало цифр, и большинство выкладок выполнялось точно, без округлений.

Второй период начался с Ньютона. В этот период решались задачи астрономии, геодезии и расчета механических конструкций, сводящиеся либо к обыкновенным-дифференциальным уравнениям, либо к алгебраическим системам с большим числом неизвестных. Вычисления выполнялись с округлением; нередко от результата требовалась высокая точность, так что приходилось сохранять до 8 значащих цифр.

Вычислительные средства стали разнообразнее: таблицы элементарных функций, затем - арифмометр и логарифмическая линейка; к концу этого периода появились неплохие клавишные машины с электромотором. Но скорость всех этих средств была невелика, и вычисления занимали дни, недели и даже месяцы.

Третий период начался примерно с 1940 г. Военные задачи - например, наводка зенитных орудий на быстро движущийся самолет- требовали недоступных человеку скоростей и привели к разработке электронных систем. Появились электронные вычислительные машины (ЭВМ).

Скорость даже простейших ЭВМ настолько превосходила скорость механических средств,, что стало возможным проводить вычисления огромного объема. Это позволило численно решать новые классы задач; например, процессы в сплошных средах, описывающиеся уравнениями в частных производных.

Сначала для решения эти задач использовались численные методы, разработанные в «доэлектронный» период. Но применение ЭВМ быстро привело к переоценке методов. Многие старые методы оказались неподходящими для автоматизированных расчетов. Стали быстро разрабатываться новые методы, ориентированные прямо на ЭВМ (например, метод Монте-Карло).

Мощности ЭВМ быстро растут. Если в 50-е гг. в СССР вступила в строй первая «Стрела» со скоростью 2000 операций в секунду и памятью 1024 ячейки, то сейчас во многих вычислительных центрах страны работают БЭСМ-6 со скоростью в 300 раз больше и памятью в 30 раз больше. А наилучшие современные ЭВМ имеют скорость до 30 миллионов операций в секунду при практически неограниченной оперативной памяти с прямой адресацией. Становятся возможными расчеты все более сложных задач. Это служит стимулом для разработки новых численных методов.

§ 2. Приближенный анализ

1. Понятие близости. Если требуется определить некоторую величину у по известной величине х, то символически задачу можно записать в виде у==А(х). Здесь иг/, их могут быть числами, совокупностью чисел, функцией одного или нескольких



переменных, набором функций и т.д. Если оператор А настолько сложен, что решение не удается явно выписать или точно вычислить, то задачу решают приближенно.

Например, пусть надо вычислить г/= л; (/) dt. Можно прибли-

женно заменить x(t) многочленом x{t) или другой функцией, интеграл от которой легко вычислить. А можно заменить интеграл суммой 2 (0 вычислить которую тоже несложно. Таким

образом, приближенный метод заключается в замене исходных данных на близкие данные х и (или) замене оператора на близкий оператор А, так чтобы значение у = А{х) легко вычислялось. При этом мы ожидаем, что значение у будет близко к искомому решению.

Но что такое «близко»? Очевидно, для двух чисел х и х надо требовать малости Ixi -д;а; а близость двух функций можно определить разными способами. Эти вопросы рассматриваются в функциональном анализе, некоторые понятия которого будут сейчас изложены.

Множество элементов х любой природы называется метрическим пространством, если в нем введено расстояние p(Xj, х) между любой парой элементов (метрика), удовлетворяющее следующим аксиомам:

а) р (Xi, х) - вещественное неотрицательное число,

б) p(Xj, Х2) = 0, только если Xi = X2, (2)

в) p(a;i, х)=р(х2, Xj),

г) p(a:i, x.,)p(xi, х) + р{Х2, Ха). Последовательность элементов ж„ метрического пространства называется сходящейся (по метрике) к элементу х, если р (л;„, ж)->0 при п->оо. Последовательность х называется фундаментальной, если для любого е>0 найдется такое (е), что р(д;„, Хт)<. при всех п и m>k.

Метрическое пространство называют полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к элементу того же пространства. Примером неполного пространства является множество рациональных чисел х = (п/т) с метрикой p(xi, Xj) = I 1 - 21. Последовательность Xii - {l-\-l/k) ему принадлежит, является фундаментальной, а сходится к иррациональному числу е, т.е. не к элементу данного пространства. Если переменные у, х принадлежат неполным пространствам, то обосновать сходимость численных методов очень трудно: даже если удается доказать, что при х-х последовательность у фундаментальная, то отсюда еще не следует, что она сходится к элементу данного пространства, т. е. к решению допустимого класса,



Элементами наших множеств будут числа, векторы, матрицы, функции и т. п. Сами множества обычно являются линейными нормированными пространствами, ибо в них определены операции сложения элементов и умножения их на число и введена норма каждого элемента \\х\\, причем выполнены следующие аксиомы:

x + xXi + Xi, {Xi + Хг) + хз = + (х+Хз);

существует единственный элемент б такой, что х-\-В = х для любого X (будем использовать для 6 обозначение 0); для всякого х существует единственный элемент - х такой, что х + (-х) = 6; (3)

а(х-\-Х2) = ах1 + ах2; {а + Ь) х = ах + Ьх;

а фх) = (аЬ) х; 1-х =.х; О • х = б единствен; хIIS= О -вещественное число; !1ах1= а • х; х=0 только прих=0; Xi--X2ll=s;xJ--x2l.

Линейное нормированное пространство есть частный случай метрического пространства, а норма определяется метрикой. Полное линейное нормированное пространство называется банаховым. Практически всегда величины, с которыми мы будем оперировать, являются элементами банаховых пространств; это важно при доказательстве сходимости численных методов.

Рассмотрим некоторые примеры банаховых пространств, с которыми нам часто придётся встречаться. Выполнимость аксиом (3) и полноту читатели легко проверят сами.

а) Множество всех действительных чисел с нормой х = х.

б) Пространство С -множество функций x{t), определенных и непрерывных при О 1, с чебышевской нормой Ц х = = тахх(). Сходимость в этом пространстве называется равномерной. Условие OsS/sgl здесь и в следующем примере принято для удобства; оно не является существенным, и можно определять функции на любом конечном отрезке.

Класс непрерывных функций часто еще сужают, накладывая на функции дополнительные требования: липшиц-непрерывности, однократной или многократной дифференцируемости и т. д. Напомним некоторые определения.

Функция х(0 называется равномерно-непрерывной на отрезке, если для сколь угодно малого со>>0 найдется такое б, что \x{tj) - x{ti)\(i) для любой пары точек отрезка, удовлетворяющих условию 11 -213- Таким образом, устанавливается функциональная связь между w и б. Величина со (б) называется модулем непрерывности функции. Функция, непрерывная во всех



0 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0222