*) Напомним принятую терминологию. Матрица В называется эрмитово сопряженной к матрице А, если она получена из нее транспонированием (зер.кальным отражением от главной диагонали) с последующей заменой э.че-ментов комплексно-сопряженн.ыми, т. е. В = А, если bik = ati. Матрица эрмитова, если она эрмитово сопряжена самой себе: А = А, и косоэрмитова, если она удовлетворяет соотношению Л = -Л. Вещественная эрмитова матрица называется симметричной, а косоэрмитова -кососимметричной. Унитарной называется матрица, обратная своей эрмитово сопряженной: 11 = 1/; вещественные унитарные матрицы называют ортогональными. Матрица называется нормальной, если она перестановочна со своей эрмитово сопряженной, т. е.

АА = АА. Легко видеть, что эрмитовые, косоэрмитовые и унитарные матрицы являются частными случаями нормальных.

Задача на собственные значения легко решается для некоторых простых форм матрицы: диагональной, трехдиагональной, треугольной или почти треугольной. Например, определитель треугольной (в частности, диагональной) матрицы равен произведению диагональных элементов. В этом случае А - ХЕ тоже треугольная или диагональная матрица. Поэтому собственные значения треугольной {диагональной) матрицы равны диагональным элементам. Легко проверить, что диагональная матрица имеет п собственных ортонормированных векторов ei = {О, О, 1,

О..... О}", соответствующих собственным значениям к1 = ац

наоборот, матрица с такими собственными векторами диагональна

Многие численные методы решения задач на собственные зна чення основаны на приведении матрицы к одной из перечислен ных выше простых форм при помощи преобразования подобия Матрица G = FAF называется подобной матрице А. Пусть i], у суть собственное значение и собственный вектор матр1щы G; тогда пу = Gy = F-AFy, что после умножения слева на матрицу f дает ц (Fy) - А (Fy). Отсюда видно, что т] и Fy суть собственное значение и собственный вектор матрицы А. Следовательно, преобразование подобия не меняет собственных значений матрицы и по определенному закону преобразует ее собственные векторы.

Особенно удобны преобразования подобия при помощи унитарных матриц *). Если ортонормированный базис преобразовать унитарной матрицей, то он останется ортонормированным. Если подобно преобразовать эрмитову матрицу при помощи унитарной, то она остается эрмитовой; в самом деле,

В = U"AU, В" = {U"AVf = и" А" {UY -U"AU = В.

Если Л -нормальная матрица, то при подобном унитарном преобразовании она остается нормальной; читателям предлагается проверить это.

Известно, что для любой матрицы А есть такое унитарное преобразование, что UAU является верхней треугольной матри-

цей; если Л-нормальная матрица, то это унитарное преобразование приводит ее к диагональной форме.

Непосредственно для практических вычислений теорема Шура ничего не дает, ибо неизвестен способ нахождения такого унитарного преобразования. Но одно косвенное следствие является важным. После указанного преобразования нормальная матрица Л становится диагональной; тогда ее новые собственные векторы образуют ортонормированный базис е,. Следовательно, собственные векторы исходной нормальной матрицы получаются из орто-нормированного базиса Ci унитарным преобразованием и сами образуют ортонормированный базис.

Это существенно, ибо в практике вычислений часто встречаются нормальные матрицы, особенно их такие частные случаи, как эрмитовы, косоэрмитовы и унитарные матрицы. Ортогональные же преобразования обеспечивают наибольшую устойчивость алгоритма по отношению к ошибкам округления. Действия с неортогональными базисами и преобразованиями при больших порядках матрицы нередко приводят к «разболтке» счета (это уже отмечалось в главе И в связи с вопросами аппроксимации).

Не всякую матрицу с кратными собственными значениями можно подобно преобразовать к диагональной форме, но ее заведомо можно преобразовать к канонической жордановой форме. Если же матрица имеет только простые собственные значения, то существует преобразование подобия (не обязательно унитарное), приводящее ее к диагональной. В самом деле, такая матрица имеет п. линейно-независимых собственных векторов. Матрица F, столбцами которой, являются координаты этих векторов, преобразует базис ei в базис из собственных векторов. Значит, преобразование подобия с матрицей F приводит Л к диагональной форме.

2. Устойчивость. Для исследования устойчивости проблемы собственных значений надо наряду с матрицей Л рассмотреть эрмитово сопряженную к ней матрицу А". Поскольку при транспонировании матрицы ее определитель не меняется, а замена всех матричных элементов комплексно сопряженными величинами приводит к замене определителя тоже комплексно сопряженным числом, то d&i{A"- %*E) = {ei{A-%£)]*. Отсюда видно, что если есть собственное значение матрицы Л, то det {А" - XfE) = 0, то есть Я* есть собственное значение матрицы А". Следовательно, собственные значения эрмитово сопряженных матриц комплексно-сопряжены друг другу.

Обозначим собственные векторы матриц Л и А" соответственно через Xi и yi. Докажем, что собственные векторы сопряженных матриц, соответствуюшие различным (точнее, не комплексно-сопряженным друг другу) собственным значениям, взаимно

*) Напомним, что для комплексных векторов скалярное произведение II

равно (а, &)= У а6,.

ортогональны. Для этого напишем тождества

Скалярно умножим *) первое равенство слева на а второе - справа на Xi и вычтем одно из другого; получим

(У1, AXi)-{A"yj, х) = {у1, hxd-ihbi, xi).

Выражение в левой части этого равенства равно нулю. Вынося % из скалярных произведений правой части этого равенства, получим {h - j){yj, Xi) = 0 или

{yjy Xi)==Q при (5)

что и требовалось доказать.

Отсюда следует, что у эрмитовых матриц собственные значения вещественны, а собственные векторы образуют ортогональную систему (поскольку yj = Xj).

Рассмотрим устойчивость проблемы собственных значений. Для простоты ограничимся случаем, когда собственные векторы матрицы образуют базис, а данное собственное значение - простое.

1сли немного изменить матричные элементы, то поправки к собственному значению и соответствующему вектору с точностью до величин второго порядка малости удовлетворяют линеаризованному уравнению

A6Xi + 8A-Xi8XrXi + Xi8Xi. (6)

Разложим поправку б; по невозмущенным собственным векторам. Вектор Xi + bXi определен с точностью до множителя; подберем этот множитель так, чтобы диагональный коэффициент разложения обратился в нуль:

Подставляя это разложение в (6) и умножая слева на различные собственные векторы сопряженной матрицы, получим

(yi, Xi) 6li (yi, бЛ • Xi), hj - h) (yj, Xj) iyj, 6Л Xi).

Поскольку вариация матрицы может быть любой, то максимумы правых частей обоих последних равенств равны 1! Л" • х Xmaxl6a)- Тогда максимально возможные ошибки собственного значения и компонент собственного вектора не превышают (с точ-