Главная Численные методы при исследовании физических задач



Составим функционал

Ф[у{х)]=\{Ау{х)-!{х)]р{х)йх, р{х)>0. (55)

Очевидно, он равен нулю при Ay(x)=f{x) и положителен, если Ay{x)Фf{x) на сколь угодно малом, но конечном интервале Ах. Таким образом, найдя функцию у{х), на которой функционал (55) достигает своего абсолютного минимума, мы получим решение уравнения (54). Заметим, что этот функционал ограничен снизу на любом множестве функций и непрерывно зависит от Ау{х). Описанный способ решения операторных уравнений называется методом наименьших квадратов.

Если задача (54) некорректно поставлена (например, неустойчива по правой части), то наиболее употребительным общим методом регуляризации является замена исходной задачи на задачу минимизации функционала А. Н. Тихонова:

M[y{x),a] = l{Ay(x)-f{x)}p{x)dx + aQ[y{x)] = min, а>0, (56)

где так называемый стабилизатор й [у (х)] - специально подобранный положительный функционал, обладающий свойствами нормы; он несколько напоминает штрафную функцию. В главе XIV будет показано, что для стабилизаторов типа

[у W] = \ {Р () у W + q (X) У" (х)} dx, р(х) ,q {х)>0, (57)

решение задачи (56) непрерывно зависит от f{x), причем при правильном подборе а оно одновременно достаточно близко в чебышевской норме к решению у (х) уравнения (54).

Уравнение (54) может привести и к другим функционалам. Пусть оператор А аддитивен, положителен и симметричен, так что (у, Лг/)>0 при уфОя (z, Ay) = (Az, у), где под скалярным произведением подразумевается интеграл от произведения функций. Рассмотрим функционал

Ф[у{х)-\ = {у, Ау)-2{у,П, (58)

(У, z}==\y{x)z{x)dx.

Покажем, что задача на минимум этого функционала эквивалентна задаче решения операторного уравнения (54).



+ q(x}y{x)=f{x),

(61)

р(х)>0, q(x)>0, i/(-co)=y(+co) = 0.

Интегрированием по частям легко убедиться в симметричности и положительности дифференциального оператора и получить следующее выражение для функционала (58);

-f со

Ф [у Ш = 5 {Р W + () У () - 2/ W у ()} dx. (62)

- со

Отметим, что оператор А включает в себя не только дифференциальное (или интегральное) уравнение, но также краевые условия, если последние имеются. Краевые условия должны некоторым образом войти в функционал, соответственно изменив его вид. Например, для задачи на ограниченном отрезке с краевыми условиями третьего рода

+ q{x)y (x) ==/ (x), p (X), q (X) > 0. (63a)

a,y (a) + aii/ (a) = a. Po</ (b) + py (6) = p. (636)

В самом деле, запишем произвольную функцию у [х) в следующем виде:

y{x)y{x) + %z{x). (59)

Подставляя это выражение в правую часть формулы (58), получим

Ф{у{х)\ = Ф{у{х)]21{г, Ау-П + ХЦг, Аг). (60)

Если у{х) есть решение уравнения (54), то второе слагаемое в правой части (60) обращается в нуль; последний же член в правой части неотрицателен благодаря положительности оператора Л. Значит, Ф[(/] = inf Ф[г/], т. е. функционал (58) достигает минимума на решении операторного уравнения (54).

Наоборот, если у (х) в представлении (59) есть функция, на которой функционал (58) достигает минимума, то первая вариация функционала на этой функции равна нулю. Следовательно, (йФ/йЯ)л о = 0, каково бы ни было z{x). Применяя это условие к (60) и одновременно полагая z (х) = Ау (х) - f (Х), получим

{Ag-f, Ay-f) = 0,

что выполняется только при Ау (х) =f (х). Это означает, что функция, иа которой функционал (58) достигает минимума, является решением операторного уравнения (54). Утверждение доказано.

Классическим примером применения описанного приема является краевая задача



Ф [у W] = J {р (X) Я (X) {/ (X) - 2/ {X) у (x)} dx +

+ [2ау (а) - aoi/2 (а)] + [РоГ/ (6) - 2Рг/ (6)]. (64) «1 Pi

От функций, минимизирующих этот функционал, уже не надо требовать удовлетворения краевым условиям -они автоматически будут им удовлетворять.

В теоретической физике встречаются функционалы более сложные, чем квадратичные. Например, в статистической модели атома Томаса - Ферми при температуре абсолютного нуля энергия выражается через электронную плотность следующим образом:

£[РИ] = I f-p-W-PW + Jp W Ji}. (65)

Поскольку при нулевой температуре и заданном объеме энергия минимальна, то нахождение электронной плотности сводится к задаче на условный экстремум для этого функционала (дополнительное условие заключается в том, что полное число электронов равно заряду ядра).

К еще более сложным функционалам приводят заАчяоптимального управления, в которых ищется минимум функционала Ф[у{х)\, причем функция у(х) является решением задачиКоши для дифференциального уравнения ~ = Р{х, у{х), и{х)), у{0)=Уо- Требуется найти такую управляющую функцию и{х), при которой заданный функционал минимален. К задачам оптимального управления относится, например, определение оптимального режима расхода горючего u{t) при запуске ракеты, приводящего к максимальной высоте подъема Ф при заданном начальном количестве горючего.

2. Метод пробных функций. Общая схема численного решения заключается в сведении задачи (53) к поиску минимума функции многих переменных. Рассмотрим класс V„ пробных функций заданного вида Vn{x; a) = v„(x; а, а, а„), содержащих п свободных параметров и принадлежащих множеству У„. На этом классе функций рассматриваемый функционал будет функцией п переменных-свободных параметров:

Ф[vn(х; а)] = F„(а) Fnia, а„ ..., а); (66)

численное нахождение минимума функции многих переменных было подробно рассмотрено в предыдущих параграфах. Найдя

надо минимизировать в классе достаточно гладких функций функционал



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [74] 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0322