*) В Отдельных случаях число параметров быёает еще бйльше. Майример, 6 KiaHToBbfl химии при решении урайнения Шредингера для несферическбго многоцентрового поля молекулы берут п ~ 1000.

параметров и смотрят, сходятся ли полученные значения Ф„ и функции. Vn(x; а) к какому-то пределу.

Если последовательность {и„} выбрана удачно, то величина Ф„ будет близка к своему пределу Ф уже при небольшом п. Например, для функционала энергии атома (65) пробная функция всего

/ 4 \-3/2

с четырьмя параметрами р{х) ал:*) обеспечивает точ-

\ft = i /

ность расчета полной энергии существенно лучше 1%. Само искомое решение (в данном примере - распределение электронов в атоме) находится при этом с меньшей, но удовлетворительной точностью.

Однако оценить фактическую точность найденного приближения на основании таких расчетов не удается. Далее мы рассмотрим два частных случая метода пробных функций, когда можно получить и более высокую точность, и неплохую оценку погрешности.

3. Метод Ритца. Ряд важных математических задач сводится к минимизации квадратичного функционала. Примером является решение корректно или некорректно поставленных задач для линейного операторного уравнения (54), приводящее к одному из функционалов (55), (56) илр (58). Если в качестве пробных функций взять обобщенные многочлены

Vn (х; а) = % (х) + 2] «*Ф* W. (71)

тй на них квадратичный функционал будет 1вадратичной функцией параметров йк. Задача на нахождение минимума квадратичной функции F (а) посредством дифференцирования по переменным йк сводится к системе алгебраических линейных уравнений; ее нетрудно численно решить даже при числе параметров пг ~ 100 -200*). Этот частный случай метода пробных функций называют методом Ритца.

Обсудим выбор функций ц)к{х). Его целесообразно связать с краевыми условиями для задач типа (54), которые обычно линейны. Пусть, для определенности, это условия первого рода

у(а)=а, yib) = f>. (72)

Выберем какую-нибудь гладкую функцию %{х) так, чтобы она

удовлетворяла этим краевым условиям, например,

Фо(х) = а + £ (х-й), (73а)

Ф„(х) = а + (Р-а)8ш. (736)

Остальные функции выберем так, чтобы они удовлетворяли однородным краевым условиям типа (72) и при этом образовывали бы полную систему. Например, согласно теореме Вейерштрасса любую непрерывную функцию можно аппроксимировать со сколь угодно высокой точностью алгебраическими или тригонометрическими многочленами. Поэтому можно положить

се,{х) = (х-а){Ь-х), k\,2..... (73в)

фЛ)-51п"~"\ г = 1, 2, ... (73г)

В этом случае пробные функции (71) при любых коэффициентах Uk удовлетворяют неоднородным краевым условиям (72) и являются полными на множестве непрерывных функций, удовлетворяющих этим краевым условиям. Согласно замечанию 3 к теореме п. 2 такой выбор пробных функций допустим.

Пример. Рассмотрим задачу на минимум квадратичного функционала (58) с вещественным симметричным положительным оператором А:

Ф [у W] = {у, Ау) - 2 (/. у) = min. (74)

Подставляя в этот функционал пробные функции Ритца (71), получим квадратичную функцию свободных параметров

п п

Ф [Vn {х; а)\ = f (а) = 2 I] (фъ А ф„) +

&= 1 т= 1

+ 2 2 йЛ(ф*. Ащ)-{щ, /)] + (Фо, Лфо-2/) = ш1п.

Приравнивая нулю производные этой квадратичной функции по параметрам, получим для определения параметров линейную систему уравнений

2; а„,(фА, Лф„) = -(фа, Лфо-/), lkn. (75)

m= 1

Дадим схему исследования сходимости, не останавливаясь на деталях. В этом примере удобно ввести норму, связанную с данным положительным оператором А:

yWA-iH.Ay). (76)

Сделаем естественное предположение, что эта норма не слабее • Ц. В самом деле, для операторов А типа (61) такая норма содержит интеграл от квадрата функции и ее производной, а среднеквадратичная близость и функций, и их производных есть более сильное требование, чем равномерная близость функций. Для таких операторов система тригонометрических функций (73г) будет полной по норме (76). Действительно, для любой функции у (х), непрерывно дифференцируемой г раз, ее тригонометрический ряд Фурье среднеквадратично сходится к ней вместе со своими г-ми производными. А сходимость по норме (76) отличается от среднеквадратичной только наличием весовых множителей р (х), q (х) под интегралом (62), что несущественно.

Найдем вариацию функционала (74) на произвольной функции

ЬФ[у] = Ф [у + Ьу\-Ф {у]{Ьу, Aty) + 2(y, Ay-f). (77)

Первое слагаемое этой вариации равно 6i/j(, т. е. является бесконечно малой второго порядка; второе слагаемое, по предположению о силе нормы (76), является бесконечно малой не ниже первого порядка относительно б{/. Отсюда следует непрерывность функционала. Наконец, заметим, что рещение д искомой задачи (74) удовлетворяет уравнению Ay=f. Подставляя это решение в (77), получим

бФ Ш = \\Ьу\\%

Таким образом, последнее условие (70) теоремы о сходимости выполнено и метод Ритца в данном примере сходится.

Заметим, что для не квадратичных функционалов Ф{у\ линейные по параметрам пробные функции (71) не дают никаких преимуществ, ибо получающиеся функции параметров F (а) = = Ф[и„ (х; а)] все равно оказываются не квадратичными. Поэтому метод Ритца фактически применяют только для квадратичных функционалов.

4. Сеточный метод. Введем сетку по аргументу х и заменим все производные и интегралы, входящие в функционал, некоторыми разностями и суммами узловых значений функции yii = y{Xk)-Тогда функционал аппроксимируется некоторой вспомогательной функцией многих переменных - значений решения в узлах:

Ф[у{х)]Р{уо, г/i, г/2, y„) = min. (78)

Решая задачу F (у, у„) = тт численными методами, мы непосредственно получим приближенные значения решения в узлах сетки. Зная их, решение при остальных значениях аргумента (не совпадающих с узлами сетки) можно найти интерполяцией.

Например, рассмотрим сферически-симметричный сжатый атом в модели Томаса - Ферми; его энергия задается функционалом (65), где интегралы берутся по сферической атомной ячейке радиуса R. Вводя равномерную сетку О = </"i <...< г„ = и вычисляя интегралы по формуле прямоугольников, получим