6x~ 0,001, а Требуемая точность решения 8у 0,1, то допустимо С<100.

Даже если задача устойчива, то численный алгоритм может быть неустойчивым. Например, если производные заменяются разностями, то приходится вычитать близкие числа и сильно теряется точность. Эти неточные промежуточные результаты используются в дальнейших вычислениях, и ошибки могут сильно нарастать.

По аналогии можно говорить о корректности алгоритма у = - А{х), подразумевая существование и единственность приближенного решения для любых входных данных х некоторого класса, и устойчивость относительно всех ошибок в исходных данных и промежуточных выкладках. Однако в общем случае этим определением трудно пользоваться; только в теории разностных схем (глава IX) оно применяется успешно.

ЗАДАЧИ

1. Доказать выполнимость всех еоотношений (4). Рассмотреть, как меняется форма записи этих соотношений при задании функции на произвольном конечном отрезке а t Ь.

2. Доказать утверждения о согласованности и подчиненности норм матриц, приведенные в конце п. 1 § 2.

ГЛАВА II

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

В главе II рассмотрены способы построения приближенных формул для заданной функции. В § 1 изложен способ интерполяции; он несложен и обеспечивает хорошую точность на небольших отрезках. В § 2 рассмотрена среднеквадратичная аппроксимация, частным случаем которой является метод наименьших квадратов; она позволяет строить приближенные формулы, пригодные на больших отрезках. В § 3 кратко изложены основные сведения о равномерной аппроксимации.

§ 1. Интерполирование

1. Приближенные формулы. Если задана функция у(х), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоемко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра, или у (х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно.

Функция у (х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчетах, где ее приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у (х) приближенной формулой, т. е. подобрать некоторую функцию ф(л:), которая близка в некотором смысле к у{х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х) я« (р(х). Близость получают введением в аппроксимирующую функцию свободных параметров a = {ai, а, а„} и соответствующим их выбором.

Подбор удачного вида функциональной зависимости (р(х; а)- искусство; некоторые советы по этому поводу будут даны в § 1, п. 8. А определение наилучших (в требуемом смьгсле) параметров формулы делается стандартными методами, которые и будут рассмотрены в этой главе.

2. Линейная интерполяция. Пусть функция у (х) известна только в узлах некоторой сетки х, т. е. задана таблицей. Если

А0е1{фЛх,)} =

ф1(-«л) ф2) ••• ф«(АГ„)

ФО при Xi=fbx. (4)

Система функций, удовлетворяющих требованию (4), называется че-бышевской. Таким образом, при линейной интерполяции надо строить обобщенный многочлен по какой-нибудь чебышевской системе функций.

Для линейной интерполяции наиболее удобн;ы обычные многочлены, ибо они легко вычисляются и на клавишной машине и на ЭВМ. Другие системы функций сейчас почти не употребляются, хотя в теории подробно рассматривают интерполяцию тригонометрическими многочленами и экспонентами. Поэтому мы не приводим выражения обобщённого многочлена (2) через табулированные значения функции у1, вывести это выражение несложно.

потребовать, чтобы ((>{х; а) совпадала с табличными значениями в п выбранных узлах сетки, то получим систему

ц>{хг, а, а, а„) = у{х,)У1, (1)

из которой можно определить параметры а. Этот способ подбора параметров называется интерполяцией (точнее, лагранжевой интерполяцией). По числу используемых узлов сетки будем называть интерполяцию одноточечной, двухточечной и т. д.

Если ф(л:; а) нелинейно зависит от параметров, то интерполяцию назовем нелинейной; в этом случае нахождение параметров из системы (1) может быть трудной задачей. Сейчас мы рассмотрим линейную интерполяцию, когда ф(л:; а) линейно зависит от параметров, т. е. представима в виде так называемого обоб-щенного многочлена

Ф (х; ui, Да, ..., с„) = 21 Фа W- (2)

k= 1

Очевидно, функции (fk{x) можно считать линейно-независимыми, иначе число членов в сумме и параметров можно было бы уменьшить. На систему функций (pk (х) надо наложить еще одно ограничение. Подставляя (2) в (1), получим для определения параметров Ok следующую систему линейных уравнений:

2] ak(fk{Xi)=yi, lin. (3)

Чтобы задача интерполяции всегда имела единственное решение, надо, чтобы при любом расйоложении узлов (лишь бы среди них не было совпадающих) определитель системы (3) был бы отличен от нуля:

92(1) ••• 4>n(xi)