и подставим в него интерполяционный многочлен (28). Получим формулу Адамса для переменного шага

yn+i = yn + hnF {x„) + hftF (Хп, x„ i) +

+ i2h„ + 3h„-i)F{x„, д:„..1, Хп-д +

+ Y2 hi iK + 8КК-У + 4/i„/i„ 2 + 1 + Шп-К-г) X

xF(Xn, л:„ 2, л:„з), где /i„ = x„+i - д:„. (30)

Эта формула имеет четвертый порядок точности. Если отбросить последнее слагаемое, получим формулу третьего порядка точности. Аналогично получаются формулы низших порядков. Формула первого порядка совпадает со схемой ломаных.

Чаще пользуются менее громоздким вариантом формулы (30), рассчитанным на постоянный шаг интегрирования. Вместо разделенных разностей вводят конечные разности Af „ == = p\F {х„, x„i, ..., х„-р), приблизительно равные р-й производной в точке (Хп4-Хп-р)/2, и получают

Уп,1 -=Уп + hFn + I hAF„ + AAf „ +1 h*AF„. (31)

Остаточный член этой формулы равен (25L/750)/if (х).

Метод без изменений переносится на системы уравнений первого порядка типа (25).

Чтобы начать расчет методом Адамса, недостаточно знать yix). Для начала расчета по формуле (30) надо знать величину решения в четырех точках х, х, х, Xg (а при формуле р-го порядка точности -в р точках). Поэтому надо вычислить недостающие значения г/„ каким-либо другим методом - методом Рунге - Кутта, или разложением по формуле Тейлора (13) -(14) с достаточно большим числом членов. При работе на ЭВМ это вдвое увеличивает объем программы. Кроме того, формулы (30) громоздки, а несложные формулы (31) рассчитаны только на постоянный шаг и требукэт нестандартных действий при смене шага: надо перейти к (юрмулам (30), сделать по ним четыре шага и снова вернутьСй

Ограничимся только написанными членами, так как уже они обеспечивают четвертый порядок точности. Для вычисления решения в следующей точке запишем дифференциальное уравнение в интегральной форме

м„+1 = «„+ Хцх, uix))dx==u„+ "fF{x)dx (29)

к формулам (31). Все это делает метод Адамса неудобным для расчетов на ЭВМ.

Внешне этот метод привлекателен тем, что за один шаг приходится только один раз вычислять f (х, и), которая может быть очень сложной. А в четырехчленной схеме Рунге -Кутта того же порядка точности f(x, и) вычисляется за шаг четыре раза. Однако коэффициент в остаточном члене (27) схемы Рунге - Кутта (24) меньше в 960 раз, чем в схеме (31)! Значит, при одинаковой точности схема Рунге - Кутта (24) позволяет брать шаг в 960 = 5,7 раза крупнее, т. е. фактически вычислять f(x, и) даже меньшее число раз, чем в методе Адамса.

Поэтому сейчас метод Адамса и аналогичные методы (например, Милна) употребляются реже метода Рунге-Кутта.

8. Неявные схемы. Предыдущие методы были явными, т. е. значение г/я+i определялось за заранее известное число действий. Пример неявной схемы получим, если запишем дифференциальное уравнение в интегральной форме (29), а интеграл по одному интервалу сетки приближенно вычислим по формуле трапеций

У п+1 = Уп+ J h {f in, Уп) + f (Xn+i, yn+i)l (32)

Решая это алгебраическое уравнение, можно определить y„+i, которое и будет приближенным значением искомого решения и(х„). Схема (32) имеет второй порядок точности, допускает счет неравномерным шагом, не требует специальных приемов для начала счета.

Но у этой схемы есть серьезные недостатки. Во-первых, неизвестно, имеет ли уравнение (32) вещественный корень, т. е. разрешима ли задача. Можно привести пример, когда при большом шаге корня нет. Пусть f{x, и)и и н(0) = 1; тогда на первом

шаге г/1= 1 + у/I (1+ «/0 и при /г>(1 + /2) вещественного

корня нет.

Во-вторых, даже если корень есть, то как его найти? Метод Ньютона применять нежелательно, так как для этого надо дифференцировать f{x, и). Метод деления пополам не обобщается на системы уравнений. Остается метод последовательных приближений

yf+ \=yn+\h [/ (х„, г/„) + / {Хп-,1, г/,?+1)]. (33)

Однако он сходится к корню, только если /г /„ < 2, т. е. при достаточно малом шаге. Если в ходе расчета /„ возрастает, то итерации (33) могут перестать сходиться.

От последней трудности можно избавиться, заодно уменьшив объем вычислений. Для этого ограничим заранее число итераций

И рассмотрим (33) как самостоятельную явную схему. Очевидно, вопроса о существовании корня при этом не возникает; г/„+1 всегда определяется, даже если алгебраическое уравнение (32) вещественного корня не имеет.

Роль числа итераций хорошо видна на примере уравнения u=f{u). Естественное нулевое приближение есть уп\\=Уп, так что первая и вторая итерации

Уп+1 = г/« + /1/(г/я).

Уп +1 =«/« + у [f (Уя) + / (Уп + ЩГЛ

являются соответственно схемой ломаных (15) первого порядка точности и схемой Рунге -Кутта второго порядка точности (23) типа «предиктор - корректор». Дальнейшие итерации уже не увеличат порядка точности, так как он не может быть выше, чем в исходной схеме (32); они влияют только на коэффициенты в остаточном члене и увеличивают время счета.

Таким образом, неявные схемы с заданным числом итераций мало отличаются от схем Рунге - Кутта и бывают удобны лишь для некоторых нестандартных задач. Но они приводят к интересной идее ограничения числа итераций.

Есть эмпирическое правило, в общем случае не обоснованное. Пусть для решения дифференциального уравнения написана неявная схема р-го порядка точности. Разрешим ее методом последовательных приближений аналогично (33) и зададим число итераций. Тогда при одной итерации получим схему первого порядка точности, при двух -второго и так далее, при р итерациях - р-го порядка точности. Дальнейшее увеличение числа итераций уже не увеличивает порядок точности.

Это правило оказывается полезным даже для уравнений в частных производных. По существу схема с заданным числом итераций есть новая явная схема. Поэтому здесь не возникает вопроса о существовании корня или сходимости итераций, подобных (33).

9. Специальные методы. Из всех численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, рассчитанных на произвольные уравнения (точнее, на классы уравнений, у которых правые части имеют определенное число непрерывных и ограниченных производных), наилучшие результаты и при расчетах на ЭВМ, и при ручных расчетах дают методы Рунге - Кутта. Поэтому, приступая к решению какой-либо конкретной задачи Коши, обычно пробуют решить ее одной из описанных в п. 6 схем.

Но выше отмечалось, что встречаются задачи с быстропере-менными решениями, когда все схемы Рунге - Кутта для получения удовлетворительной точности требуют неприемлемо малого