Главная Численные методы при исследовании физических задач



подробной; особенно удобно сгущать сетки вдвое (рис. 44). При этом как для равномерных, так и для квазиравномерных сеток условие совпадения узлов выполняется.

В тех узлах, которые являются общими для нескольких сеток, можно уточнить у{х) непосредственно по правилу Рунге (44). Так, в п-м узле можно увеличить порядок точности на двойку, в (п + 2)-м -на единицу, а в (fi-f--нельзя увеличить

(рис. 44). Разумеется, если

•---•-• 4/7fT) мы не уточняем рещение, а

лишь оцениваем погреш-

•-........ *-• 2/!(Х) ность, то достаточно найти

ее по формуле (43) только

•-•-•-•-•-•-•-•-• /?(sc) в части узлов.

р Однако можно уточнить

функцию во всех узлах самой подробной сетки, если немного усложнить вычисления. Например, для двух нижних сеток на рис. 44 это делается так. Используем совпадающие узлы сеток для определения поправок к значениям функции

Ат-=[у(Хт; h)-y{Xm, rh)]l{rP-\), т = п, п + 2. (45а)

Значение поправок в остальных узлах найдем простейшей интерполяцией. Для равномерных или квазиравномерных сеток можно положить

A„+i = i-(A„-f Д„+2)- (456)

Затем вычислим уточненные значения

У(Хт\ Щ = У{Хт\ /l) + Am. « = «+U -+2. {45в)

Этот способ легко обобщается на произвольное число сеток. Такое уточнение выгодно для специальных схем TpeTijero типа, имеющих невысокий порядок точности; выполнить уточнение обычдо проще, чем составить специальную схему высокого порядка точности.

Примеры применения правила Рунге даны в таблице 18 (п. 5) и таблице 19 (п. 6), содержащих численное решение задачи

ы = х2 + н 0<x<l, м(0) = 0.

В таблице 18 интегрирование выполнено по схеме ломаных (15), и для уточнения использованы сетки с h = \ к h = 0,5; видно, что, несмотря на плохую точность исходной схемы, уточненное решение не сильно отличается от искомого. В таблице 19 уточнено численное решение, найденное по неплохой схеме Рунге - Кутта второго порядка точности (22); это уточнение уже близко к искомому решению, несмотря на очень грубую сетку.



§ 2. Краевые задачи

1, Постановки задач. Краевая задача - это задача отыскания частного решения системы (1а):

на отрезке asgxsgb, в которой дополнительные условия налагаются на значения функций (л;) более чем в одной точке этого отрезка. Очевидно, что краевые задачи возможны для систем порядка не ниже второго.

Свое первоначальнбе название этот тип задач получил по простейшим случаям, когда часть дополнительных условий задается на одном конце отрезка, а остальная часть - на другом (т. е. только в точках х = а и х = Ь). Примером является задача нахождения статического прогиба и (х) нагруженной струны с закрепленными концами

u"{x) = - f{x), axb, u(d) = u{b) = 0; (46)

здесь / (х) - внешняя изгибающая нагрузка на единицу длины струны, деленная на упругость струны.

Для уравнений или систем более высокого порядка, где число дополнительных условий больше двух, постановки краевых условий более разнообразны. При этом возможны случаи, когда часть условий задана во внутренних точках отрезка [а, Ь]; их нередко называют внутренними краевыми условиями. Например, статический прогиб нагруженного упругого бруска удовлетворяет уравнению четвертого порядка

u{x)=f{x), axb; (47а)

если этот брусок лежит в точках Х;, lfi=:tsg4, на опорах, то дополнительные условия имеют вид

u(Xi) = 0, 1<г«с4, aXj<x.i<X3<Xib, (476)

т. е. все они заданы в разных точках.

Сами дополнительные условия могут связывать между собой значения нескольких функций в одной точке (или даже в разных точках); тогда для системы р-го порядка (1) они примут вид

(«1 (h), U2 (Ik). . • •, Up ilk)) = 11a, lkp, alkb.



Существуют задачи с еще более сложными по форме дополнительными условиями, например, условиями нормировки

5«(x)dx=l,- (49)

обычными в квантовой механике, и т. д.

Несмотря на разнообразие форм краевых условий, краевые задачи решаются в основном одними и теми же численными методами, что оправдывает их объединение в один тип. Остановимся на методах решения.

Найти точное решение краевой задачи в элементарных функциях удается редко: для этого надо найти общее решение системы (1) и суметь явно определить из краевых условий значения входящих в него постоянных.

К приближенным методам решения краевых задач относятся разложение в ряды Фурье, методы Ритца и Галеркина. Ряды Фурье применяют к линейным задачам; этот метод излагается в курсах математической физики (см. [2, 40]) и здесь рассматриваться не будет. Остальные два метода применимы и к некоторым нелинейным задачам. Метод Ритца разбирался в главе VH, а метод Галеркина будет рассмотрен в этом параграфе.

Для численного решения краевых задач применяют метод стрельбы и разностный метод. Метод стрельбы основан на сведении краевой задачи к некоторой задаче Коши для той же системы уравнений. В разностном методе задача приближенно заменяется решением алгебраической системы уравнений с очень большим числом неизвестных (неизвестными являются значения решения в узлах сетки). В случае нелинейных задач оба метода являются итерационными; при этом построение хорошо сходящихся итерационных процессов само оказывается достаточно сложным.

2. Метод стрельбы (называемый также баллистическим). Это численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к некоторой задаче Кощи для той же системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим его на примере простейшей задачи для системы двух уравнений первого порядка с краевыми условиями достаточно общего вида

u(x) = f{x, и, v), v{x)=g{x, и, v), axb, (50а) Ф(ы(а), v(a)) = 0, я5(ы(Ь), v{b)) = Q. (506)

Выберем произвольно значенйе и{а)=ц, рассмотрим левое краевое условие как алгебраическое уравнение ф(т), v{a)) = 0 и определим удовлетворяющее ему значение v(a) = t,{r]). Возьмем значения и (а) = >], v{a) = t в качестве начальных условий задачи Коши для системы (50а) и проинтегрируем эту задачу Коши



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [86] 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0218