Главная Численные методы при исследовании физических задач



*) Это следует из теорем о зависимости решения задач Коши от параметра (см.[371).

любым численным методом (например, по схемам Рунге -Кутта). При этом получим решение и{х; v (х; i]), зависящее от ц. Как от параметра.

Значение С выбрано так, что найденное решение удовлетворяет левому краевому условию (506). Однако правому краевому условию это решение, вообще говоря, не удовлетворяет: при его подстановке левая часть правого краевого условия, рассматриваемая как некоторая функция параметра г\:

{) = {и{Ь; ц) v{b; ц)), (51)

не обратится в нуль. Надо каким-либо способом менять параметр

Я, пока не подберем такое значение, для которого ij3(Ti)«i:0 с требуемой точностью. Таким образом, решение краевой задачи (50) сводится к нахождению корня одного алгебраического уравнения

(т1)==0. (52)

Эта алгебраическая задача изучена в главе V, § 2. Рассмотрим, какие методы ее решения целесообразно применять в данном случае.

Простейшим является метод дихотомии. Делают пробные « выстрелы » -расчеты с наудачу выбранными значениями т],-, до тех пор, пока среди величин (т],) не окажется разных по знаку. Пара таких значений т],-, ri,. образует «вилку». Деля ее последовательно пополам до получения нужной точности, производим «пристрелку» параметра т]. Благодаря этому процессу весь метод получил название стрельбы.

Однако нахождение каждого нового значения функции (ц) требует численного интегрирования системы (50а), т. е. достаточно трудоемко. Поэтому корень уравнения (52) желательно находить более быстрым л1етодом, чем дихотомия.

Если правые части уравнений (50а) и левые части краевых условий (50б) имеют непрерывные и ограниченные первые производные, то (т)) также будет иметь непрерывную производную *). В этом случае можно построить аналог метода Ньютона. Нам пока известен только способ вычисления ф (т]), а нужно научиться определять также производную

dtp (п) dyj: ди (6; ц) dlf dv (b; ц) dr\ диф) дц dv(b) дц

Входящие сюда производные по параметру от рещения задачи Коши можно найти, если продифференцировать по этому параметру систему (50а). Вводя обозначения

ди (х; п) , , ди {х\ ri) Г1) = -Ь Л. v(x;r)) = - (54)



(55а)

и дифференцируя (50а) по параметру, получим

•=/hU, «. v)P-{x)+fv{x, и, v)v{x), dv

- = Su (x> v) [1 (x) + (x, u, v) V (X), a ж ss 6

Одно из начальных условий для этой системы очевидно: ц (а) = ди (а)/дг]=1; второе условие нетрудно найти, дифференцируя левое краевое условие (506) по т). Отсюда получим

[x (а) = 1, v (а) = - ф„ (т), О/ф (т], Q. (556)

Интегрируя систему (55а) с начальными условиями (556) совместно с задачей Коши для системы (50а), определим вспомогательные функции ц (х), v (х). Подставляя их значения при х = Ь ъ (53), найдем значение производной правого краевого условия по пристрелочному параметру. Новое значение параметра определяется по формуле касательных (5.28):

»1.+1 = 115-Й(%)/ФЫ]- (56)

Однако описанный способ требует интегрирования лишней пары дифференциальных уравнений, что приводит к усложнению и двукратному увеличению трудоемкости каждой итерации. Поэтому им пользуютсяне часто.

Можно избежать этого усложнения, если решать уравнение (52) разностным аналогом метода Иъютот - методом секущих. Для этого первые два расчета делают с наудачу выбранными значениями т]о, T]i, а следующие значения параметра вычисляют по формуле (5.32):

Вместо этого процесса можно использовать метод парабол, в котором также не требуется располагать явным выражением производных, а достаточно лишь знать об их существовании. Напомним, что последние три метода быстро сходятся вблизи корня; сходимость вдали от корня зависит от того, насколько удачно выбрано нулевое приближение.

Линейные задачи решаются методом стрельбы особенно просто. Пусть система (50а) и краевые условия (506) линейны.;

w (х) = (х) и -f Pi (х) и -f Yi (х),

axb, (58а)

v (х) == «2 (х) ы-f р2 (•«) и + Y2 (х),

PiU (а) -f qv (а) = ри ф) -f qv ф) = г. (586)

Тогда начальные условия соответствующей задачи Коши примут вид

«(а) = П, v{a) = {r-PlЦ)/ql. (58в)

Нетрудно сообразить, что решение задачи Коши (58а), (58в) будет линейно зависеть от параметра т), поэтому ф(т)) также



будет линейной функцией. Но линейная функция одного аргумента полностью определяется своими значениями в любых двух точках и r\i, а ее график является прямой, т. е. совпадает со своей секущей. Значит, найденное по формуле секущих (57) значение является точным корнем уравнения (52), так что расчет с этим значением параметра даст искомое решение. Таким образом, для решения линейной краевой задачи (58а)-(586) достаточно трижды решить задачу Коши.

Замечание. Для линейных задач можно несколько уменьшить объем расчетов, если воспользоваться тем, что общее решение линейной неоднородной системы равно сумме ее какого-нибудь частного решения и общего решения соответствующей однородной системы. Найдем частное решение неоднородной системы (58а), (58в), соответствующее значению 110 = 0, и обозначим его через Uo(x), Vo{x). Затем рассмотрим соответствующую однородную задачу Коши

и (х) ai (х) и + Pi (х) V, V (х) = «2 (х) « + Ра (х) V,

1. f (а) = -Pi/i;

вычислим ее решение и обозначим его через «i(x), vix). Тогда общее решение неоднородной задачи Коши, удовлетворяющее (в силу выбора начальных условий) левому краевому условию (586), является однопараметрическим семейством

uix) = Uoix) + cuyix), v{x) = Voix) + cuy(x). (59)

Значение параметра с выбираем так, чтобы удовлетворить правому краевому условию (586):

PiUi (b) + q-iVi ф)

Затем найдем искомое решение по формуле (59), что позволяет избежать третьего интегрирования задачи Коши.

Метод стрельбы прост, применим как к линейным, так и к нелинейным задачам и позволяет использовать при численном интегрировании схемы Рунге -Кутта (или другие) высокого порядка точности. К большинству задач типа (50) он применяется успешно.

Затруднения возникают в тех случаях, когда краевая задача (50) хорошо обусловлена, а соответствующая ей задача Коши плохо обусловлена. При этом численное интегрирование задачи Коши определяет функцию (т)) с большой погрешностью, что осложняет организацию итераций.

В этом случае пробуют поставить начальные условия на другом конце отрезка х = Ь, т. е. интегрировать задачу Коши справа налево; нередко при этом устойчивость улучшается. Если изме-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [87] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0176