Главная Численные методы при исследовании физических задач



M = llzn\li~,-ji. (73)

Это означает, что при разностное решение равномерно схо-

дится к точному со вторым порядком точности.

Займемся фактическим н а х ожден и ем разностного решения. Алгебраические системы общего вида решают методами последовательных приближений или линеаризации. Однако, если взять метод последовательных приближений в естественной форме (5.44):

2„ + > = / , + .4-Л/(х,., yf),

то нетрудно убедиться, что критерии сходимости этого метода (5.45) не выполняются. Положение улучшается, если придать методу последовательных приближений специфическую форму

Докажем сходимость разностного решения к точному, дополнительно предполагая, что f„5=mi>0. Поскольку для погрешности аппроксимации производной (65) справедливо соотношение (3.12):

м„ 1 - 2н„ + ы„.1 = Ки" (Хп) + ~ и Пп), In е (x«-i,

точное решение удовлетворяет разностным уравнениям

Un-i-2un-Un+i = m{Xn, «„) + и(У, \n,N-\,

Uo = a, ил = р.

Вычитая эти уравнения из (71), обозначая погрешность г„ = = Уп - и„ и учитывая, что /(л:„, yn)-f{Xn, Un) = {fu)nZn, получим для погрешности систему уравнений

a„ i-(2 + /iV„)«z„-f2„+i = gHiv(y, lnN-l, Zo = 0, Zff = 0.

Пусть Хп„ есть узел, в котором максимален. В этом узле перепишем соотношение (72) в форме неравенства

(2 + h%)n. I г„„ I 1 г„„ 11 +1 г„„ -ы 1 + I (In,)\.

Усилим это неравенство, заменяя в правой части на z„J;

тогда получим



Решим эту трехдиагональную систему методом прогонки. Для данной системы рекуррентные соотношения (5.12) для коэффициентов прогонки нетрудно преобразовать к такому виду:

i«+i = 2:i7 = . OnN-2, UO,

Формулы обратного хода прогонки (5.11) также преобразуются

N к-1

Clf = i+iSV. + .+ i = -« 2 Т(ГГТ)2р4 (76)

k=n+\ р=1

и дают искомое решение системы (75).

Для правых частей системы (75) выполняется неравенство

\df\q<), (/W=/i2Mill?(,-),. Подставляя его в (76), получим

N k-\

А = п-- 1 р=1

Отсюда следует

WlhqWr-b q = \Nhmy = {b-afMi. (77)

Это означает, что итерации (74) сходятся при выполнении условия -J- {b -afMy<\, - max J . (78)

Из соотношения (78) следует, что сходимость линейная, т. е. довольно медленная.

Условие (78) является достаточным, но оно близко к необходимому: более сложные оценки показывают, что если {Ь - а > >я2, то итерации (74) могут расходиться.

Тогда для определения г/ на каждой итерации получается линейная система, решаемая алгебраической прогонкой. Исследуем сходимость итераций (74).

Рассмотрим погрешность итерации == г/* - у. Она удовлетворяет системе уравнений, получаемой вычитанием (71) из (74):



(79)

Линеаризованную систему также решают алгебраической прогонкой. Сходимость итераций исследуют описанными выше приемами. Потребуем, чтобы /„5smi>0. Тогда сравнивая (79) и (71), можно получить для поправки* i> = г/* - у такое неравенство:

/н» (х, и)

2/„ {X, и)

Это означает, что если нулевое приближение взято не слишком далеко от корня (например, удовлетворяет условию

11 IT \\с fun Wax),

то итерации (79) сходятся, причем квадратично. Поэтому метод Ньютона обычно выгодней метода последовательных приближений, несмотря на более громоздкие формулы.

Замечание. Если итерации (79) или (74) сходятся, то в силу непрерывности и гладкости функции f (х, и) они сходятся к решению системы (71). Тем самым устанавливается существование разностного решения в этих случаях.

Для нелинейных задач очень эффективна комплексная организация расчета, позволяющая при небольшом объеме вычислений получать высокую точность. Опишем ее.

Возьмем первую сетку с очень малым числом интервалов N=2 - 8; остальные сетки получим из нее последовательным сгущением вдвое. На первой сетке начальное приближение выберем каким-либо приближенным способом: методом Галеркина,. или разложением по малому параметру. Поскольку для первой сетки порядок алгебраической системы мал, качество нулевого приближения здесь малосущественно.

Когда итерации сошлись, полученное разностное решение интерполируем (например, линейно) на второй сетке п возьмем на ней в качестве нулевого приближения. Тогда итерации обычно быстро сходятся; в методе Ньютона достаточно 2-4 итераций. Интерполируем это решение на следующей сетке и т. д. Общий объем расчетов при этом невелик и примерно эквивалентен 5-8 итерациям последней сетки.

Целесообразнее решать уравнения (71) методом Ньютона. Соответствующие формулы нетрудно записать, линеаризуя правые части этих уравнений:

д (2 + нЪ)п + Aiv. = hfn - У- г + - Уп+1.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [90] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0169