Главная Численные методы при исследовании физических задач



второго порядка возникает при нахождении спектра атома водорода. Нахождение уровней энергии многоэлектронного атома в приближении Хартри - Фока приводит к задаче для системы нелинейных уравнений, в которой число функций и число параметров равно числу электронов атома.

Исследование корректности постановки задачи на собственные значения еще более сложно, чем для краевых задач. Исследованы в основном линейные задачи с одним параметром. Однако в курсах теории колебаний и квантовой механики имеется немало примеров, из которых видно, что в зависимости от постановки задачи собственные значения могут существовать или не существовать, быть вещественными или комплексными; спектр собственных значений может быть дискретным, сплошным, состоящим из полос или являющимся комбинацией перечисленных случаев.

Наиболее употребительными численными методами решения задач на собственные значения являются метод стрельбы и разностный метод, подробно рассмотренные ниже. Из приближенных методов упомянем методы Ритца и Галеркина.

2. Метод стрельбы. В задачах на собственные значения имеются естественные пристрелочные параметры - величины Хг, поэтому такие задачи нередко решают методом стрельбы. Основные черты этого метода те же, что и для краевых задач; рассмотрим детали метода на двух примерах.

Простейший пример -задача для одного уравнения nepiBoro порядка с одним параметром и двумя краевыми условиями

и{x) = f{x, и; к), ы(а)=а, «(Ь) = р. (87)

Если отбросить правое краевое условие и выбрать некоторое значение Я, то (87) превратится в задачу Коши. Численно интегрируя ее, получим решение и {х\ X), удовлетворяющее левому краевому условию и зависящее от параметра X. Вообще говоря, и(Ь; т. е. это решение не удовлетворяет правому крае-

вому, условию. Тогда будем варьировать X до тех пор, пока не получим иф; Я)я»р с требуемой точностью. Разумеется, при варьировании используют обычные методы нахождения корня алгебраического уравнения, как ато было сделано в § 2, п. 2.

Другой пример-это классическая задача на собственные значения уравнения второТо порядка при нулевых краевых условиях

u"(x) + pix)u{x) + [X + q{x)]u{x)0, иф) = иф)0. (88)

Уравнение имеет второй порядок и содержит одно собственное значение; следовательно, задача требует трех дополнительных условий. Но в силу линейности и однородности решение определено с точностью до множителя; это и есть неявное задание третьего условия. Формально третье условие здесь удобно задать в форме м(а) = 1 (что возможно, если р (а) и q (а) конечны).



Тогда можно взять для исходного уравнения задачу Коши с начальными условиями и (а) = 0, и (а) = 1 и вести пристрелку параметра Я до выполнения правого краевого условия.

Заметим, что линейность уравнения и краевых условий не упрощает стрельбу, ибо зависимость и (х; К) от параметра все равно остается нелинейной.

Метод стрельбы удобно применять, если стрельба является однопараметрической, как это было в рассмотренных примерах. Если это требование не выполнено, то алгоритмы стрельбы сильно усложняются и становятся менее надежными; тогда выгодней использовать разностный метод.

Метод стрельбы трудно применять также в том случае, если задача Коши плохо обусловлена. Тогда малая вариация Я может резко изменить решение и (х) и даже вывести его за пределы представимых на ЭВМ чисел. При этом невозможно организовать процесс решения алгебраического уравнения типа

иф; Я) = 0.

Иногда, как и в краевых задачах, помогает смена направления интегрирования (но ее применяют только, если от этого не увеличивается число параметров пристрелки).

3. Фазовый метод. Классическая задача для уравнения вто- юго порядка (88) имеет много важных физических приложений. 3 частности, к этому уравнению приводит квантовомеханическая задача об уровнях энергии частицы, движущейся в заданном одномерном (например, сферически-симметричном) поле. В последнем случае задача Коши для уравнения (88) оказывается очень плохо обусловленной: обиее решение уравнения обращается в бесконечность на обоих концах отрезка (х=0 и л: = со). Поэтому применять метод стрельбы трудно. Но эта задача настолько важна, что для нее разработаны специальные схемы. Рассмотрим одну из них - фазовый метод.

Воспользуемся тем, что качественное поведение решения известно. Решение имеет осциллирующий характер, причем амплитуда может сильно зависеть от координаты. Введем амплитуду р и фазу ф решения при помощи соотношения

и(х)=р (х) sin ф (х). (89а)

Это соотношение неоднозначно определяет амплитуду и фазу. Для определенности подчиним их дополнительному соотношению

и(А:) = р(л;)со5ф(л:). (896)

Наглядный смысл его состоит в том, что если взять вектор с координатами и, и, т. е. перейти в фазовую плоскость, то р и ф будут амплитудой и фазой этого вектора.



Амплитуда определена с точностью до множителя и не меняет знака, как и должно быть по смыслу задачи.

Замечание 1. Задача (88) может иметь и другие типы краевых условий. Если исходное краевое условие имеет вид и (Ь) =0, то для фазы надо взять условие ф (6) = я (д - Va)- Несколько сложней асимптотическое условие и (оо) = О, возникающее в задаче на отрезке a=S::x<oo; обычно в таких задачах выполняется р (оо) = 7 (оо) = 0. Тогда нетрудно построить асимптотику решения и (х)-ехр (-К-Ях) при х-с» и получить отсюда асимптотическое краевое условие для фазы

cos ф(х)--1/-Лsinф(x)0 при X->-[-ОС.

Дифференцируя (89а) и (896) и сравнивая их между собой, получим соотношения

и" = р cos ф - фр sin ф, р sin ф = (1 - ф) р cos ф.

Исключая при помощи этих соотношений и формул (89) функцию и{х) и ее производные из уравнения (88), после несложных преобразований расщепим (88) на уравнения для амплитуды и фазы:

р (х) = - р (х) {р {х) cos ф (х) + (х) -f Я - 1] sin ф (х)} cos ф (х), (90) Ф (X) = cos Ф (X) + р (х)sinф (х) cos ф (х) -f [Я-f (7 (х)] sin ф (х). (91)

Граничные условия (88) при этом естественно приписываются фазе. Если надо найти решение, соответствующее квантовому числу п, т. е. имеющее п полуволн на [а, Ь], то следует положить

Ф(а) = 0, ф(6) = лп. (92)

Таким образом, мы получили задачу на собственные значения (91)-(92) только для уравнения фазы. Она легко решается методом стрельбы, поскольку задача Коши для уравнения (91) хорошо обусловлена. Важной особенностью этой задачи является то, что правому краевому условию (92) удовлетворяет только одно определенное А.„ из всего спектра исходной задачи (88). Поэтому стрельба всегда сходится именно к требующемуся собственному значению.

После нахождения фазы уравнение для амплитуды легко интегрируется в квадратурах

р (х) = р {а) ехр {- \ [р (I) cos ф (?) -f

I а

-\-{q (E) + Я-l)sinф()]cosф(?)4l



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [93] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0213