Главная Численные методы при исследовании физических задач



1 - -2" Нрп) У п-1 - (2 - h"qn - W) у„ + 1 -f у hpnj у п+1 = О,

IsCnN-l, (94)

где уо==ум = 0 в силу краевых условий. Эта система содержит N - I уравнение; из нее надо определить к, у, у2, ... , Ум-х-

Замечание 2. Фаза ф(х) может быть немонотонной функцией. Однако, если при некотором х значение фазы ф(х) = я/г, то ф (х) = 1; поэтому каждую линию ц> = лк интегральная кривая пересекает лишь однажды, а немонотонность может проявляться только между этими линиями. При таком поведении интегральных кривых стрельба с использованием дихотомии надежно сходится к собственному значению, а при использовании метода Ньютона область сходимости нередко оказывается очень узкой.

Замечание 3. Для преодоления последнего недостатка предложена замена функций, несколько более сложная, чем (89), но зато делающая ф(х) монотонной функцией. При этом стрельба с использованием метода Ньютона сходится за небольшое число итераций.

4. Разностный метод обычно используется в тех случаях, когда стрельба оказывается многопараметрической, или если задача Коши для исходного дифференциального уравнения плохо обусловлена.

Формулируется он так же, как для краевых задач. Введем на [а, Ь] сетку {х„, 0==Sn=ssA} и заменим в исходной задаче все производные некоторыми разностными соотношениями. Тогда вместо дифференциального уравнения и краевых условий получим систему алгебраических уравнений

Fkixo, Xl, xjv, Уо, Ui.....Un, ) = 0, 0=skN-i-l (93)

(для простоты записи мы ограничиваемся случаем одного собственного значения). Эта система содержит Л/+ 2 уравнения, и из нее надо определить такое же число неизвестных: Я, уо, Ух, ..., уы-

Возникают те же вопросы, что и в краевых задачах. Имеет ли алгебраическая система (93) решение? Если имеет, то как его фактически вычислить? Если разностное решение найдено, то насколько оно близко к точному решению? Сейчас мы рассмотрим линейные задачи, для которых на эти вопросы ответить легче.

Пусть исходная задача является линейной и однородной относительно и{х), как, например, задача (88). Воспользуемся линейными разностными аппроксимациями производных. Тогда система (93) будет относительно уп линейной однородной, т. е. это будет алгебраическая задача на собственные значения матрицы. Так, для задачи (88) при простейших аппроксимациях на равномерной сетке получим систему



k (X) -f [Ir (x) - q [x)] и ix) = 0, « (a) = H {b) = 0.

Оказывается, что простейшая схема (94) дает не очень хорошие, а при разрывных коэффициентах - даже неверные результаты. Следует составлять консервативные разностные схемы (они будут подробно рассмотрены в главах X и XI). Если коэффициенты уравнения непрерывны вместе со своими вторыми производными, то простейшие консервативные схемы абеспечивают равномерную сходимость Уп -к и{х) с погрешностью 0{Щ. Так называемая наилучшая консервативная схема обеспечивает погрешность О (h) даже при коэффициентах, кусочно-непрерывных со своими вторыми производными, если выбраны специальные разностные-сетки (в которых эти точки разрыва являются узлами).

Пример. Рассмотрим частный случай задачи Штурма -Лиувилля

и" (х) + 1и (х) = 0, н (0) = « (1) = 0. (95)

Точное решение этой задачи есть Хпт, ит{х) = $тлтх, т=1, 2, оно нужно для сравнения с численными расчетами. Простейшей разностной схемой для этой задачи является схема (94), в которой надо положить р„ = (7„ = 0. Эта схема имеет второй порядок точности.

Выполняя расчеты для сеток с числом интервалов N = 2, 3, 4, приближенно определим три первых собственных значения.

*) Это исследование и доказательства приведенных ниже утверждений см. в [30].

Задача (94) имеет спектр собственных значений, состоящий т N-1 числа (по порядку матрицы). Первые собственные значения являются приближениями к первым собственным значениям К„1 из дискретного спектра исходной задачи (88). Если разностная схема составлена так, что матрица алгебраической системы (93) является эрмитовой, то приближенные собственные значения будут вещественными.

Собственные значения и собственные векторы линейной системы (93) вычисляют методами, описанными в главе VI. Поскольку во многих приложениях матрица системы трехдиагональная (реже -пятидиагональная), а нужны только несколько первых собственных, значений, то выгодно применять метод Дервюдье (см. главу VI, § 4, п. 2). При небольшом числе интервалов сетки удобно также находить корни характеристического многочлена методом парабол, вычисляя сам многочлен по рекуррентным соотношениям (см. главу VI, § 1, п. 4).

Сходимость разностного решения к точному при хорошо исследована только для задач Штурма- Лиувилля *)



Они представлены в таблице 22 вместе с точными значениями Из таблицы видно, что с малой погрешностью определяются только те собственные значения, номер которых заметно меньше Л. При сгуш,ении сетки приближенные значения быстро стремятся к точным. Очень эффективным оказывается уточнение по правилу Рунге -Ромберга, также приведенное в таблице; уточнение по двум сеткам дает неплохую точность, а уточнение по трем сеткам - отличную.

Таблица 22

Уточненное по Рунге

Точное

8,00

9,00 27,0

9,37 32,0 54,6

9,88 38,4

9,87 39,5 88,8

На этом примере хорошо видно, что сочетание схемы невысокого (обычно второго) порядка точности с правилом Рунге выгодно: оно обеспечивает высокую точность расчета при несложном алгоритме. Схемы высокого порядка точности обычно довольно громоздки, и организация расчета по ним сложнее.

5. Метод дополненного вектора. Для разностного метода, особенно в случае сложных нелинейных задач, важным и трудным является вопрос о фактическом вычислении разностного решения, ибо алгебраическая система (93) имеет заведомо высокий порядок. Для многих задач удобно находить это решение методом дополненного вектора. Изложим этот метод.

Заметим сначала, что метод стрельбы (и многие конкретные разностные алгоритмы) можно схематически описать следующим образом. Выбирается некоторое приближение,Я°; затем вычисляется соответствующее ему приближение (х). По этой функции находится новое приближение Я* и т. д. При этом собственное значение и собственная функция считаются элементами разных метрических пространств.

Будем рассуждать иначе. Разностную собственную функцию У"={1/0 Hi, Un] можно считать вектором в (Л/-f 1)-мерном пространстве. Увеличивая размерность пространства на единицу, рассмотрим собственное значение как новую компоненту этого вектора, tj+il. Новый вектор Y={ijo, у, ум, г/л+х} назовем дополненным. Относительно компонент дополненного вектора алгебраическая система (93) перепишется в каноническом виде

Рк(Уо, У1.....Vn, yN+i)==0, 0=eikN + l. (96)

Эта система нелинейна, даже если исходная задача была линейной относительно и{х), как в примере (88).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [94] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170


0.0154