*) Здесь обсуждается только вопрос о вычислении разностного решения. Вопрос о его сходимости к точному решению при ft ->- О надо рассматривать отдельно; он связан со свойствал1и оператора А и выбором аппроксимации.

Решать систему (96) будем методом Ньютона. Линеаризуя (96), получим на каждой итерации систему уравнений

2 iip6y(;) = -/=,(K), OskN+l, (97)

р = 0

линейную относительно приращений неизвестных 8у<- = у+> - Если искомое решение алгебраической системы (96) не особенное, т. е. в нем det {dF/dY) Ф О, то при не слишком плохом нулевом приближении итерации (97) быстро сходятся к разностному решению. Отметим, что для линейных задач на собственные значения этот итерационный процесс совпадает с методом Дервюдье (см. главу VI, § 4, п. 2).

Удовлетворительное нулевое приближение для итераций (97) можно найти приближенными методами (метод Галеркина, разложение по малому параметру и т. д.), а в прикладных задачах его нередко удается получить из качественных соображений. Исключительно эффективна в таких задачах комплексная организация расчета, подробно описанная в § 2, п. 5.

Замечание 1. Метод дополненного вектора особенно полезен для уравнений, у которых задача Коши плохо обусловлена: он подавляет такую неустойчивость.

Замечание 2. Метод легко переносится на более общие задачи вида Л (и (л;), Я) = 0, где оператор А может быть интегро-дифференциальным (краевые условия предполагаются включенными в определение оператора). Вводя сетку x« и аппроксимируя разностными выражениями все производные и интегралы, входящие в оператор, получим алгебраическую систему (96) и решим ее итерационным процессом (97) *).

Замечание 3. Недостатком метода является то, что при неудачном выборе нулевого приближения итерации (97) могут не сойтись, или в задачах со спектром собственных значений итерации могут сойтись не к искомому собственному значению.

Замечание 4. В методе дополненного вектора требуется решать систему линейных уравнений (97). Это легко делать, только если матрица системы целиком помещается в оперативной памяти ЭВМ (например, на БЭСМ-6 это будет при числе неизвестных /V <С 150). Это приводит к ограничению допустимого числа интервалов сетки.

Если требуется решить задачу для системы большого числа дифференциальных уравнений (например, уравнения Хартри -Фока для многоэлектронного атома), то даже при довольно грубой сетке число узловых значений

хЦ\-х).

Первое собственное значение определилось с хорошей точностью, второе -с много худшей.

всех функций будет велико, и метод дополненного вектора применять трудно. В подобных задачах успешно применяется так называемый непрерывный аналог метода Ньютона, имеющий линейную сходимость итераций, но зато позволяющий оперировать с очень большим числом неизвестных. Этот метод является специальным вариантом метода последовательных приближений, организованным так, что итерации всегда сходятся.

6. Метод Галеркина. Многие приближенные методы пригодны для нахождения собственных значений и собственных функций задач, у которых краевые условия линейны относительно функции и ее производных. Среди этих методов к наиболее простым вычислениям приводит метод Галеркина.

Метод формулируется почти так же, как для краевых задач. Ищем решение задачи А{и{х), k) = f{x) в виде линейной комбинации отрезка полной системы функций (pk{x), kl:

и{х)Уп{х} = %{х)->г СкЩ(х), axsb, (98)

выбранной так, чтобы удовлетворялись краевые условия. Потребуем, чтобы выполнялись условия ортогональности

\ [А {у„ (х). К) - f {x)] ф, {x)dx = Q, lkN. (99)

Эти условия образуют алгебраическую систему п уравнений с л -f 1 цеизвестным с, с, ., с„, К. Недостающее уравнение надо полулить из одного из краевых условий.

По тем же соображениям, что и в краевых задачах, удобнее пользоваться ортогональными системами функций ф (х). В Линейных задачах вычисления при этом заметно упрощаются.

Пример. Рассмотрим задачу (95)

и"{х) + ки{х) = 0, и(0) = ы(1) = 0

и воспользуемся полной системой многочленов (р (х) = х{\ - х), которые заметно отличаются от точного решения задачи. Одним из дополнительных условий является условие нормировки решения. Благодаря линейности задачи его можно формулировать разными способами; для удобства вычислений зададим его в форме Уп (0) = 1, что означает q = 1. Тогда, полагая п = 1 и 2, легко получим первые приближения

Методом Галеркина можно довольно хорошо находить наименьшие собственные значения. Но точность определения собственных функций обычно заметно хуже.

Обоснование метода Галеркина сложно. В частном случае, если дифференциальный оператор А линеен и однороден относительно и{х), система (99) является задачей на определение собственных значений матрицы. Для задачи Штурма-Лиувилля метод Галеркина приводит к тем же самым алгебраическим уравнениям, что и метод Ритца (сходимость которого в задачах Штурма-Лиувилля доказана).

ЗАДАЧИ

1. Доказать теорему о сходимости метода Пикара, сформулированную в § 1, п. 3.

2. Вывести оценку (10) скорости сходимости метода Пикара.

3. В методе малого параметра вывести формулы для коэффициентов а„ и функций у„ (х) в уравнениях (12).

4. Найти приближенное решение уравнения (3) методом малого параметра.

5. Для системы двух уравнений (25) написать схемы Рунге-Кутта второго порядка точ?юсти, аналогичные (22) и (23).

6. Для уравнения химического распада (34) составить схемы Рунге-Кутта второго и четвертого порядка точности и выяснить ограничения на шаг в этих схемах, следующие из положительности решения.

7. Составить для уравнения химического распада (34) специальную схему интегрирования по третьему способу из § 1, п. 8.

8. Вычисляя в (41) интеграл от второго слагаемого по формуле трапеций, получить неявную специальную схему; исследовать ее точность и найти ограничение на шаг сетки.

9. Написать формулы метода стрельбы применительно к краевой задаче (46) для одного дифференциального уравнения второго порядка.

10. Составить формулы метода Ньютона для нахождения корня уравнения (626), возникающего при решении краевой задачи (60) методом стрельбы.

11. Решить краевую задачу (69) методом Галеркина, выбрав ортогональную систему функций cfi,(x) = sm2kx; сравнить результат с примером, приведенным в § 2, п. 6.

12. Для итерационного процесса при решении задачи на собственные значения (87) баллистическим методом составить а) формулы методу секущих, б) формулы метода Ньютона.

13. Для задачи на собственные значения (95) найти разностным методом при N = 2 и Л? = 4 первую собственную, функцию и уточнить ее-по правилу Рунге; ответ сравнить с точным решением.