Если уравнение в частных производных описывает сложный физический процесс, то автомодельные решения дают отдельные режимы протекания процесса и позволяют исследовать многие его особенности. Поэтому автомодельные решения широко используются в современной физике (см. [36]).

Автомодельность является частным случаем подобия. В теории подобия при помощи анализа физических размерностей коэффициентов уравнения ищутся такие преобразования всех переменных и функций, относительно которых уравнение инвариантно. Например, уравнение (9) не изменится при таком преобразовании:

х-ах, t->at, u->a/"ti. (14)

Если для уравнения известно преобразование подобия, то, найдя каким-либо способом одно частное решение, мы при помощи этого преобразования получим целое семейство решений. Это особенно ценно, если задача настолько сложна, что частные решения удается- находить только трудоемкими численными методами.

Разумеется, автомодельные решения или преобразования подобия существуют далеко не для всех классов уравнений, а лишь при некоторых видах коэффициентов уравнения и начальных и граничных условиях. Однако многие важные физические задачи точно или приближенно удовлетворяют этим ограничениям.

4. Численные методы. Задачи для нелинейных уравнений с коэффициентами достаточно общего вида или даже линейные задачи, но в областях сложной формы, редко удается решить классическими методами. Основным способом решения таких задач являются численные методы. Среди них чаще всего применяют разностные методы благодаря их универсальности и наличию хорошо разработанной теории.

Для применения разностного метода в области изменения переменных G{r, t) вводят некоторую сетку. Все производные, входящие в уравнение и краевые условия, заменяют разностями (или другими алгебраическими комбинациями) значений функции и (г, t) в узлах сетки. Получающиеся при этом алгебраические уравнения называют разностной схемой. Решая полученную алгебраическую систему, найдем приближенное (разностное) решение в узлах сетки.

Как и в главе VIII, возникают вопросы: существует ли решение алгебраической системы и единственно ли оно; как это решение фактическивычислить (за возможно меньшее число действий); при каких условиях это разностное решение стремится к точному и какова скорость сходимости? Есть еще два вопроса, которые для обыкновенных дифференциальных уравнений были несложными: как выбрать сетку и как составить разностную схему на этой сетке?

Пример. Составим простейшие разностные схемы для одномерной задачи линейной теплопроводности на ограниченном отрезке

UfkUxx, 0<х<а, 0<йСГ, (15а)

и (х, 0) = ц (X), и (О, О = (/), и (а, t) = (О- (156)

Решение ищется в области G = [0<x<-a]x[05c7].

Введем в G прямоугольную сетку (для простоты равномерную), образованную пересечением линий x„ = /t/i, OnN, ntm = tnx, 0:/п;Л1; величины h, т являются шагами сетки по переменным x, t (рис. 46). Значения функции в узлах сетки будем обозначать « = ы(х„, tm).

Рис. 46.

m+J о-

п а)

Т1-1

п б)

Рис. 47.

Возьмем около узла (х„, tm) конфигурацию узлов, изображенную на рис. 47, а. Заменим в уравнении (15а) производную щ разностным отношением {иЦ - u2)lx, а производную их -отношением («:f j - 2w+4-ii+]) z. Тогда дифференциальное уравнение приближенно заменится (аппроксимируется) разностной схемой *)

т (С+ - С) = i {уП 1 - 4""++/-± 1). 1

.N-1. (16)

Число уравнений (16) меньше числа неизвестных +, OsnN; недостающие уравнения выводятся из начальных и граничных данных (156):

y"+=lii(W),

yN+==liAirn+i). (17)

Конфигурацию узлов, используемую для составления разностной схемы, называют шаблоном.

Для одной и той же задачи можно составить много разностных схем. Например, если для задачи (15) выбрать изображенный

*) Напомним, что разностной схеме удовлетворяет разностное решение, которое мы обозначаем у.

на рис. 47, б шаблон, то вместо (16) получим другую схему:

(c+-;r)=i(c+i-2;r+C-i) inN-\. (is)

Начальные и граничные условия для этой схемы можно записать в форме (17).

В этой, главе рассмотрены способы составления и исследования разностньГх схем, применимые для разных типов задач. В следующих главах излагаются те разностные схемы, которые дают хорошие результаты при решении некоторых распространенных типов уравнений математической физики, возникающих в задачах переноса, теплопроводности и диффузии, акустики и газодинамики, стационарных электрических полей.

Есть численные методы, близкие к разностным. Например, в методе прямых сетка вводится только для части переменных; эти переменные рассматриваются как дискретные, а одна переменная (обычно время /) остается непрерывной. Производные по дискретным переменным заменяются разностями. При этом уравнение в частных производных аппроксимируется" дифференциально-разностными уравнениями, которые представляют собой систему большого числа обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод прямых оказывается в некоторых случаях удобным.

Для некоторых важных классов задач развиты специальные численные методы, обычно основанные на каких-либо грубых физических моделях процессов. Так, для задач многомерной газодинамики разработан метод частиц в ячейке; для задач разреженной плазмы предложен метод «водяного мешка» и ряд других (см. [6]);.в задачах переноса нейтронов комбинируют разностный метод с разложением угловой части функции распределения частиц по сферическим гармоникам и т. д.

Численные методы позволяют решить сложнейшие задачи для систем многомерных уравнений. Однако для сложных задач численные методы очень трудоемки и рассчитаны на использование мощных ЭВМ. В этих случаях даже вывод разностной схемы, составление программы и ее отладка могут занимать несколько месяцев, а разработка математической модели или новых типов разностных схем нередко требует нескольких лет.

Поэтому численные методы целесообразно использовать в сочетании с аналитическими методами. Например, ищут такие упрощенные постановки задачи или частные случаи, когда можно найти точные или автомодельные решения и преобразования подобия. При помощи преобразования подобия по каждому найденному численному решению строят семейство решений. Все это позволяет с меньшими затратами труда провести детальное исследование исходной задачи.