1 +1 =1

1 1 =1

0 + 0=0

0*1 =1-0=0-о

0-0 о

-о о-о о-=-о о-

1 • 1

1-0 0-,

Ol 1-0

-о о-

- - -о о-

Рис. П2.3. Аксиомы алгебры логики

(Г; I a+0 = (i

I а-*-а. = а.

а + 1=1

5) g+a="7

ffi е..

ТО ЖЕ

Рис. П2.4. Свойсгва функций ИЛИ, И, НЕ, ТО ЖЕ

5. Исполнительные элементы XYZ... Их контакты: х,у,г ... - замыкающие и X, у, Z ... - размыкающие.

6. П е р е м е и и ы е: а, Ь, с ... - входные. Pi, Р2> Рз ••• - промежуточные, х, у, z ... - вьь ходные.

Аксиомы алгебры логики, определяющие свойства и отношение основных операций между собой, описываются формулами. Содержание некоторых аксиом можно иллюстрировать схемами.

1. Существуют такие О и 1, что О = 1 и 1 = 0. Иными словами, состояние 1 является отрицанием состояния нуль: читается "единица не нуль". Состояние О является отрицанием состояния 1; читается "нуль не единица".

В ряде книг, а также по ЕСКД входные переменные обозначают Xi, Xi, Хз ... , а выходные - jbji. Ja ••• •

2. Переменная может принимать лишь одно из двух возможных значений: либо с = О, если аф\, либо с = 1, если афй.

3. 0-0 = 0. Как явствует из рис. П2.3,с, последовательное соединение (•) двух разрывов (О - 0) равносильно ( =) (т. е. не изменяет условий действия) одному разрьту (0). Иными словами, в любом случае цепь разомкнута. И, наоборот, 1 +1 =1. Это значит, что параллельное соединение (+) двух замкнутых участков (1 + 1) цепи равносильно ( = ) одному замкнутому участку: в любом случае цега> замкнута (рис. П2.3,б).

Рассуждая аналогичным образом, легко понять, что:

4. 1-1 = 1 (рис. П2.3,в) и 0+0 = 0 (рис. П2.3,г).

5. 0-1 = 1-0 = О (рис. П2.3,д) и 1 + О = О + 1 (рис. П2.3,е).

Логические функции выражают зависимость выходных переменных от входных. Различают функции одной, двух и многих входных пере-

менных. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся фунмши. Выше они уже упоминались, а теперь настало время систематизировать и объяснить их свойства.

Дизъюнкция (от лат. disfunctio - разобщение, различие, разделение) двух геременных а + b называется также суммой, логическим сложением, функцией ИЛИ, объединением. Для обозначения дизъюнкции в словесной форме употребляется связка ИЛИ (говорят: а или ft), а в формулах - знаки +, \/ , и-Одним словом, с + ft, а ft, с и ft обозначает одно и то же.

Рисунок П2.4,с устанавливает соответствие между структурной формулой (слева), контактной схемой (в центре) и употребительным обозначением функции (справа), а рисунки тЛуб-д доказьшают справедливость основных равенств: а + О = а; а + а = а; а + 1 = I; а + а = 1 соответственно.

Конъюнкция (от лат. conjunctio - союз, связь) двух переменных ab называется также произведением, логическим умножением, функцией И, пересечением. В словесной форме для обозначения конъюнкции употребляется связка И (говорят: а и ft), а в формулах - знаки ,/\, П, &,. Точку обычно опускают. Следовательно, а- ft, ab а/\ ft, а Г\Ь,а & b - это ошю и то же.

Обратите внимание: знаки (+) указывают не на умножение (сложение) в арифметическом смысле этих понятий, а на способ соединения, а именно на последовательное (параллельное) соединение.

Обратившись к рис. W2A,e, легко понять соответствие между структурной формулой (слева), контактной схемой (в центре) и обозначением функции (справа). Рисунки П2.4,лг-к-подтверждают справедливость основных равенств а - О = 0\ а-а = а; а \ = а; а-а = О соответственно.

Инверсия (от лат. inverse - переворачивание, перестановка) - функция НЕ - имеет значение, обратное значению входной переменной (рис. П2.4,л).

Повторение - функция ТО ЖЕ повторяет значение входной переменной (рис. П2.4,л).

Законы алгебры логики (примеры)

Закон нулевого множества: конъюнкция любого числа переменных обращается в нуль, если какая-либо одна переменная имеет значение О, независимо от значений других переменных

Закон универсального множества: дизъюнкция любого числа переменных обращается в единицу, если хотя бы одна из ее переменных имеет значение 1, независимо от значений любых переменных

1 +с + ft + ... + w = 1

Закон двойной инверсии: двойную инверсию (отрицание отрицания) можно снять

2- а (3)

Законы дополнительности: а) конъюнкция любой переменной и ее инверсии есть О

аа = 0

"NT

б) дизъюнкция переменной и ее инверсии есть 1 а+а=1 (5)

Законы коммутативные (переместительные) : результаты выполнения операций конъюнкции и дизъюнкции не зависят от того, в каком порядке следуют переменные

ab = ba

ОаЬ... w = 0

(13)

-1 J- 1 ~i ~\ -\

Законы ассоциативные (сочетательные) : для а +ab=a

записи конъюнкции и дизъюнкции скобки можно опустить

(14)

a(bc) = (ab)c = abc

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b+c

Законы дистрибутивные (распределительные) а) конъюнкции относительно дизъюнкции

а ф + с) = аЬ + ас

(10)

б) дизъюнкции относительно конъюнкции

с + 6с = (с+Ь)(с+с) (11)

а + аЬ ~ а + b

(16)

Законы склеивания (распространения) ab+ab=a (17)

Ь----° -

Законы поглощения а(а + Ь) = а

(12)

(с + ft) (с + *) = с

(7) a{a + b)(a+c) ...(a + w) = a

а + b = b + а