Главная Движение носителей электрических зарядов



/ У

для цепей синусоидального тока применять законы Ома и Кирхгофа и вытекающие из них методы расчета цепей в той же форме, что и для цепей постоянного тока. Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое можно записать в алгебраической, тригонометрической и показательной форме.

а + Комплексная плоскость представляет собой

Рис 2 7 прямоугольную систему координат (рис. 2.7),

подобно плоскости декартовьк координат. Ось абсцисс на комплексной плоскости является вещественной осью и обозначается (+); (-), а ось ординат - мнимой и обозначается (+Д

{-]), где j = ]/- 1. По вещественной оси откладьшают действительную часть комплексного числа с, по мнимой оси - мнимую часть комплексного числа jb. Комплексную величину отмечают точкой ф, £, /, Ф и т. д.) или подчеркивают снизу (Z, Y,yvi т. д.). Комплексным числом (или просто комплексом) назьшают сумму действительного и мнимого чисел, например для рис. 2.7

Я = а + yfe = Я cos а + ji? sin а = R, (2.12)

где R = ]/а + Ь - модуль комплекса, равный длине вектора, изображающего комплексное число; а = arctg (b/a) - аргумент комплексного числа, т. е. угол между осью вещественных чисел и вектором, изображающим комплексное число; cos а + у sin а = е*" - формула Эйлера; е - основание натурального логарифма.

В (2.12) представлены три формы записи комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

За положительное направление вращения вектора на комплексной плоскости принимают направление вращения против часовой стрелки. Поэтому положительный угол а откладьшают от полуоси вещественных чисел против часовой стрелки, а отрицательный угол (-а) - по часовой стрелке. Если имеется отрицательный угол ( - а), то формула Эйлера принимает вид

е"-" = cos(-a) + jsin( -а) = cosa - jsina.

Таким образом, в общем виде имеем следующие выражения для комплексного числа:

R=a±jb = R (cos а + 7 sin сх) = /?e±i«.

Если вектор R повернуть из положения I в положение 2 (рис. 2.7), то в комплексной форме это запишется как

Re = Ке» +Р> = Яее»" = Яе*.

Следовательно, умножение комплексного числа на множитель типа e.±J9 равносильно повороту вектора на комплексной плоскости на угол ±р. Поэтому множитель е±>Р назьшают поворотным или оператором поворота вектора.

Рассмотрим формулу Эйлера, считая, что Р = 7t/2:



е+т = COS у + j sin у = ±j.

Умножение комплексного числа на ±j равносильно повороту вектора на комплексной плоскости на угол ±п/2. Если взять, например, комплекс R = a+jb, то, умножив его на j, получим Rj = -b+ ja, что при его графическом построении на комплексной плоскости соответствует повороту вектора R на угол jt/2 в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки.

Считая угол поворотного множителя функцией времени, т. е. р = cat, получаем множитель, или оператор вращения е"°. Это означает, что если вектор умножить на е*", то он станет радиус-вектором, вращающимся со скоростью о:

к = Ree = Re("+".

Это выражение называется комплексной функцией времени или комплексным мгновенным значением.

Производная от комплексной функции времени равна

-[Яе»= ~ =7шЯЛ = j(o/?e<»+«. (2.13)

at at

Интеграл от комплексной функции времени

Выражения (2.13) и (2.14) показьшают, что дифференцирование и интегрирование комплексных функций времени можно заменить соответственно умножением или делением их на Ja.

Операции сложения, вычитания, умножения и деления синусоидальных функций производят путем сложения, вычитания, умножения и деления векторов на комплексной плоскости.

Два комплексных числа а +jb и с + jd будут равны, если равны их действительные и мнимые части, т. е. когда а = с, b = d. Два комплексных числа a+jb и a-jb назьшают сопряженными, причем (а+ + jb)(a-jb) = a + b\

Произведение комплексных чисел, например R1R2, является комплексным числом, которому иа комплексной плоскости соответствует вектор R:

R = RR = ЯеКге" = i?i/?2e"+P> = Re. (2.15)

Итак, вектор произведения комплексных чисел имеет длину, равную произведению их модулей, а угол у относительно вещественной положительной оси равен сумме углов векторов сомножителей.

При делении комплексных чисел получается комплексное чисчо, модуль которого равен частному от деления модулей, а угол - разности углов исходных комплексных чисел:

= = Rie/iRiS) = ie<-P>/2 = Re. (2.16)

Рассмотрим на комплексной плоскости вращающийся вектор U„e, изображающий синусоидальное напряжение и = 17„ sin (cat + \/) и состав-




ляющий с осью вещественных чисел угол ой + \; (рис. 2.8). Запишем этот вектор в виде комплексного числа в трех формах:

и&<" = и+ ju" = С/„ cos ((ot + ) + + jU. sin(cot -1- ij;) = C/„e*"-*> = C/„ee°". (2.17)

Здесь {/„е-* = C/„ - комплексное число, соответ-Рис. 2.8 ствующее положению вектора в начальный мо-

мент времени и назьшаемое комплексной амплитудой; \/ - начальная фаза; е" - множитель вращения, который является оператором поворота вектора на угол cot относительно начального положения вектора.

Таким образом, мнимая составляющая комплексного числа и вектора на комплексной плоскости представляет собой синусоидальное напря-

и" = С/„ sin ((Of -1- vl/) = Im IU„& =

= Im[C/„cos((of-l-\/)-l-jC/„sin(fuf-f\l/). (2.18)

Здесь символ Im означает, что от комплексной функции времени, записанной в квадратных скобках, берется только мнимая часть.

В уравнении (2.17) вещественная часть вектора комплексного числа на комплексной плоскости представляет собой косш1усоидальную функцию времени, мгновенное значение которой

и = и„ cos (юг + \/) = Re [С/„ cos (юГ + jU„ sin (cot -l- \/)] =

= Re [C/„e"»+>] = Re [Ue"]. (2.19)

Здесь символ Re обозначает вещественную часть комплексной функции времени, записанной в скобках. На рис. 2.8 мгновенное значение и можно определить графически как проекцию вращающегося вектора L/„e на ось вещественных чисел.

Обычно на комплексной плоскости откладьшают комплексы действующих значений, т. е. при расчете цепей синусоидального тока необходимо знать только действующие значения для синусоидальных функций времени и их сдвиг по фазе друг относительно друга.

Если выражение U„ = С/„е* есть комплексная амплитуда напряжения, то соответственно комплексное действующее значение напряжения, или просто комплексное напряжение,

и = = ie = C/V* = С/cosvl/ -I- jUsm = и + ju".

Этот комплекс напряжения на комплексной плоскости гвобра-жается неподвижным вектором U. Если необход1шо получить вьфажение для мгновенного значения напряжения (э. д. с, тока), зная соответственно значение комплексного напряжения U, то для этого вначале необходимо заданный комплекс умножить на \/2, полущш тем самым комплексную амплитуду, а затем, умножив еще на е", получить комплексную функцию времени. Взяв от комплексной функции времени мнимую часть, находят искомое мгновенное значение и".



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [14] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148


0.0165