Главная Движение носителей электрических зарядов



/ (cot) = Ао+ t sin (кш + Ы (5.1)

где Ао - постоянная составляющая или нулевая гармоника, равная среднему значению функции за период; Ai sin (cot + х]/,) - основная синусоида, или первая гармоника, обладающая той же частотой, что и периодическая несинусоидальная функция; А2т sin (2cot -I- 2) - вторая гармоника, обладающая двойной частотой по сравнению с основной, называемая высщей гармоникой второго порядка; А sin («cot -I- - высшая гармоника п-го порядка (все члены вида sin (/ccot -I- х]/) при к > 1 называют высшими гармониками); Ai, А2т, , А„ - амплитуды гармоник ряда; cot = 2п/Т- основная частота, равная частоте несинусоидальной функции; Т- период несинусоидальной периодической функции; х]/,, 2. • •, и - начальные фазы гармоник (за начало отсчета принимают начало периодической несинусоидальной функции). Необходимо отметить, что каким бы способом ни разлагали несинусоидальную периодическую функцию в ряд Фурье, постоянная составляющая AqU амплитуды гармоник Ai„, А2„, А„т остаются неизменными. Начальные же фазы гармоник x/i, »]/2, -.., х1/„ изменяются, если начало отсчета времени сдвигается. При сдвиге начала отсчета соответственно изменяется также вид ряда.

В общем случае ряд Фурье содержит бесконечное число членов. На практике обычно ограничивают некоторым их конечным числом, определяемым требуемой точностью расчета. Чаще всего ограничиваются той гармоникой ряда, амплитуда которой составляет менее 5% от амплитуды основной гармоники.

Для вычисления постоянной составляющей амплитуд гармоник и их начальных фаз ряда Фурье кривой, полученной экспериментальным путем, целесообразно записать через синусы и косинусы без начальных фаз, т. е. раскрыв синусы сумм ряда. Рассмотрим к-ю гармонику ряда:

Ai, sin (/с cot -I- x t) = sin /с cot cos xj/t -I-

+ кя, cos fccot sin x/fc = sin /с cot -I- cos к at, (5.2)

где Bi, = Ai, cos x/t, = A,, sin х]/.

Таким образом, {"яд Фурье можно переписать в виде

/(cot) = Ао + Bi sin cot + sin 2cot -I-...

... + B„ sin Mcot -I- cos cot -I- Сг cos 2cot -I-...

... -I- C„„ cos и cot = Ло + L (J5tm sin kat + Q„ cos к cot). (5.3) *= 1

Из (5.3) следует, что все синусоиды и косинусоиды ряда начинаются там же, где периодическая несинусоидальная функция. Однако, согласно (5.2), коэффициенты и зависят от выбора начала отсчета времени. Коэффициенты ряда Ао, В„, и определяют с помощью следующих интегралов:



f{t)dt

f(at)d((ia ;

(5.4)

Bkm - 1

f (cot) sin katd (cot);

0 2jt

/ (cot) COS kmd (cot).

(5.5)

(5.6)

Из (5.4) следует, что постоянная составляющая есть среднее значение функции / (t) за период Т= 2я/со. Согласно (5.2), можно записать

Аьп = VL + CL; tg = С,„,/В,„,. (5.7)

Зная значения коэффициента ряда (5.3), мож1ю переписать (5.1), подсчитав предварительно коэффициенты А, по (5.7).

Любая несинусоидальная периодическая величина наряду с аналитическим ее представлением в виде ряда Фурье может быть представлена в виде графика. При этом постоянную составляющую Aq и коэффициенты ряда Вит и С„определяют графическим путем: Ао определяется как среднее значение ординаты кривой за период в п точках, а коэффициенты Вт

и Ciim определяют, например, путем разбивки несинусоидальной кривой на и равных частей (порядка двадцати) и замены интегралов (5.5) и (5.6) суммами конечного числа слагаемых. Кроме того, несинусоидальную периодическую кривую можно также разложить в ряд с помощью гармонического анализатора - прибора, применяемого для этой цели.

Для более наглядного представления характера изменения амплитуд гармоник ряда от частоты /ссо строят диаграмму амплитудно-частотного спектра (рис. 5;2), а для характеристики формы кривой, зависящей в большей мере от соотношения начальных фаз гармоник xj/, строят диаграмму фазочастотного спектра (рис. 5.3). Так как амплитуды и начальные фазы определяют спектральный состав несинусоидальных периодических функций, который носит дискретный характер, то сово-

0.8 0,6 0.4 0,2

(О 20} 3(о 40} 5(оа Рис. 5.2

cj ги За 4cj 5сз " Рис. 5.3



купность гармонических составляющих каждой из этих функций называют дискретным .частотным спектром.

При построении амплитудно-частотного спектра по оси абсцисс откладывают значения частот /ссо, а параллельно оси ординат - относительные значения постоянной составляющей и амплитуд основной и высщих гармоник. В диаграмме фазочастотного спектра по оси абсцисс откладывают значения частот /ссо, а параллельно оси ординат - отрезки, численно равные начальным фазам гармоник.

§ 5.3. Виды симметричных периодических функций

Периодические несинусоидальные функции, обладающие каким-либо видом симметрии, имеют определенные свойства, которые упрощают разложение этих функций в тригонометрический ряд. Существуют функции, симметричные относительно оси абсцисс, относительно оси ординат, относительно начала координат, а также функции, симметричные как относительно оси абсцисс, так и относительно оси ординат. Рассмотрим такие функции.

Функция, симмет1Н1Чная относительно oai абсщкс. Функция, удовлетворяющая условию

f(4>t)= -f(ayt + n), (5.8)

называется симметричной относительно оси абсцисс (рис. 5.4). Иными словами, функция симметрична относительно оси абсцисс, если ее двум абсциссам, отличающимся на полпериода Т/2, соответствуют равные, но разные по знаку ординаты. Кривая обладает свойством симметрии относительно оси абсцисс в том случае, если в результате смещения ее положительной полуволны по оси на полпериода, т. е. на Т/2, и зеркального отражения относительно оси t получается изображение отрицательной полуволны.

Такая функция при разложении в ряд Фурье не содержит постоянной составляющей Ао и высших гс.рмоник четного порядка. Докажем это положение. Так как условием симметрии является равенство

/ (cot) = - / (cot -I- я) или / (cot) -I- / (cot -I- я) = О,

где •

/(cot) = Ао + Aim sin (cot + \l/i) + A2„ sin (2cot -I- 2) + з». sin (3cot -)-

+ кз) + •- ; /(cot -I- я) = Ао + Aisin [(cot -I- я) -I- х]/,] -I-

-I- A2m sin [2 (cot + Я) -I- xl/j] -I- A-i sin [3 (cot -I- я) -I- фз] --...

... = Ao- imsin(cot -I- \l/i) -I- A2msin(2cot -I- xl/a) - Asin(3cot -b

• А„.т(Ш + и) +

то в результате сложения имеем

2Ао + 2А2ш sin (2cot -I- фг) -I- 2А sin (4cot -I- \l/4) -I-... = 0.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [30] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148


0.0404