Главная Движение носителей электрических зарядов



ftcyt)


Рис. 5.4

at+27t at

Рис. 5.5

Последнее равенство имеет место при любых значениях cot, что возможно только при условии, когда = О, = О, А„ = О и т. д., т. е. когда нулевая гармоника и амплитуда четных гармоник равны нулю.

Таким образом, функция, симметричная относительно оси абсцисс, при разложении в ряд Фурье содержит только нечетные гармоники. Следовательно, ряд Фурье такой функции имеет вид

/(cot) = Aim sin (cot + x/i) + Аз„ sin (3cot + 3) + A5„sin(5cof + фз) + ....

(5.9)

Функция, симметричная относительно оси ординат. Функция, удовлетворяющая условию

/Ccof)=/(-(»t), (5.10)

называется симметричной относительно оси ординат (рис. 5.5). Иными словами функция симметрична относительно оси ординат, если двум равным ординатам, соответствуют равные, но разные по знаку абсциссы.

Функция, симметричная относительно оси ординат, при разложении в ряд Фурье не содержит синусов, а содержит только косинусы и постоянную составляющую. Рассмотрим это свойство симметрии.

Итак, условие симметрии /(cot) = /( - cot), или /(cot) -/( -cot) = О, где

/(cot) = Ао + Bin sin cot + sin 2cot + Вз sin Scot + ...

... + Cim cos cot + COS 2cot + Сз cos Scot + ... ; (5.11) /(- cot) = Ло - Bim sin cot - sin 2cot - B sin Scot + ...

... + Ci„ cos cot + С2 cos 2cot + Сз„, cos Scot + .... (5.12)

Следует иметь в виду, что при изменении знака аргумента синусы меняют знак, а косинусы его не меняют, так как cos ( -cot) = cos cot. В результате алгебраического сложения уравнений (5.11) и (5.12) имеем

2Bim sin cot + 2В2;„ sin 2cof + 2Вз„, sin Scot + ... = 0.

Это равенство будет иметь место при любых значениях cot, но при условии, когда Ei„, = О, Вг™ = О, Вз„, = 0 и т. д. Следовательно, при симметрии функция относительно оси ординат ряд не содержит синусов:

/ (cot) = Ао + cos cot + Cjm cos 2cot + Сз„ cos Scot + - (5.13)

4 A. Г. Морозов



ftCJt)

Ы/ cot

ffcot)

ж cot

Рис. 5.6

Рис. 5.7

Функция, сим.метричная относительно начала координат. Функция, у которой точка нуля функции совпадает с началом координат (рис. 5.6) и удовлетворяет условию

/(©0= -/(-cot), - (5.14)

называется симметричной относительно начала координат. Согласно (5.14), условие симметрии для данной функции можно также записать в виде

/(cot)+/(-cot) = 0.

Складывая уравнения (5.11) и (5.12), получим

2Ао + 2Ci„, cos cot + ICim cos 2cot + 2Сз„, cos 3cot + ... = 0.

Это равенство справедливо при условии Ао = О, Ci = О, = О, = 0 и т. д. Следовательно, функции, симметричные относительно начала координат, не содержат постоянной составляющей и косинусов и могут быть представлены рядом

/ (cot) = Bi sin cot + В2„ sin 2cot + B sin 3cot + .... (5.15)

Функция, симметричная как отиоснтельно оси абсцисс, так и начала координат. Если функция симметрична относительно оси абсцисс, то при разложении ее в ряд в нем отсутствуют нулевая и четные гармоники, а для функции, симметричной относительно начала координат, кроме того, отсутствуют и косинусоиды. Следовательно, функция, симметричная как относительно оси абсцисс, так и начала координат (рис. 5.7), при разложении в ряд состоит только из синусоид нечетного порядка:

/ (cot) = Bi„, sin cot + Вз„, sin 3rot + Bs„, sin Scot + .... (5.16)

§ 5.4. Действующие и средние значения несин}Соидальных периодических токов и напряжений

В цепях несинусоидального периодического тока, как и в цепях синусоидального тока, обычно под значением тока, напряжения или э. д. с. понимают действующее значение. Действующим значением несинусоидального периодического тока / (напряжения, э. д. с), как и в случае



синусоидального тока, называют среднеквадратичное значение тока за период:

i4t.

(5.17)

Если несинусоидальный ток i разложить в ряд

i = Io + hm sin (cot + + sin (2cot + 2) + + hmsin («cot + x/„).

Uo hm sin (cot + \l/i) + ... + /„„ sin (wcot + \l/„)]t =

lldt + -

T n 0 k=\

n

\l

0 4 = 0 p = 0

X sin (cot + x]/,) sin (pcot + x/p) dt

Ildt = ll;

T n

YiL sin (to+xi/,) it== Yih

Ok=i k=l k=i

T n

0 q = 0

p = 0

Iqmlpm sin (gcot + x]/ sin (pcot + x/p) dt = 0.

Следовательно,

k = 0

(5.18)

Из (5.18) следует, что действующее значение несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей Iq и действующих значений токов всех гармоник

Е 4, причем этот ток не зависит от начальных фаз х] ;. к=1



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [31] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148


0.0112