Главная Движение носителей электрических зарядов



§ 6.5. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением резистивного, индуктивного и емкостного элементов

Рассмотрим апериодическую разрядку конденсатора. Если ключ К на рис. 6.9 переключить из положения а в положение ь, то образуется накоротко замкнутый контур rLC, в котором до коммутации конденсатор заряжен до напряжения источника Uq. После коммутации в замкнутом контуре rLC протекает свободный процесс, который, согласно второму закону Кирхгофа, описывается однородным уравнением

-+ Пев + Мссв = 0. (6.34)

Так как = С ducce/dt, то , duc.

.+ ,С+Мссв = 0.

dt dt

Характеристическое уравнение для (6.35) имеет вид

LCp + fСр + 1 = О, или р + rp/L + 1/(LC) = О

и два корня

(6.35)

(6.36)

(6.37)

Если в колебательном контуре резонансная частота Oq = Vl/ и и r/{2L) = 5, то выражение для определения корней характеристического уравнения можно переписать:

Р1Л = -5 ±1/5-eng. (6.38)

Характер свободного процесса зависит от вида корней характеристического уравнения, которые, в свою очередь, зависят от соотношения параметров цепи г, l, с. Свободный процесс, наблюдаемый в замкнутом rLC-контуре после коммутации, представляет собой апериодическую разрядку конденсатора. Апериодической называется разрядка конденсатора, заряженного до напряжения Uq, через резистор и индуктивную катушку, когда напряжение на конденсаторе постепенно спадает до нуля. Апериодический процесс разрядки конденсатора имеет

место, если корни характеристического уравнения вещественны, т. е. если в (6.38) t/{4L) > l/(lc), или r/(2L) >

> 1/]/lC, или г > 2\/l/C = гр, и получается пара разных корней.

b г

Рис. 6.9

Сопротивление гр = 2 ]/ь/с называется критическим, так как оно является наименьшим сопротивлением •LC-контура, когда еще имеет место



апериодический процесс разрядки конденсатора. При г < 2 }/l/C корни характеристического уравнения получаются комплексными и сопряженными. Таким образом, корни характеристического уравнения pi и Р2 будут вещественными и различными, если выполняется условие г > Гкр. Если корни различны, то общее решение однородного дифференциального уравнения (6.35) имеет вид

Мссв = Ale + АеР, (6.39)

где Ai и Лг - вещественные постоянные интегрирования, а pi и рг - вещественные и различные корни, которые должны быть отрицательными, так как свободный процесс должен быть затухающим во времени.

Так как при разрядке конденсатора в накоротко замкнутом контуре rLC процесс является свободным, то переходные значения напряжения Uc и тока i равны их свободным значениям, т. е. uc = мссв и i = i. Ток цепи

, ducc

JCB= С-

(6.40)

Подстав.чяя начальные условия (при t = О Uc= Ug и i = 0) в (6.39) и (6.40), получаем

мс(0) = Ai + A2 Uol т = Aipi + А2Р2 = 0. (6.41)

Из системы уравнений (6.41) определяем постоянные интегрирования:

а, = - =

Uo 1

О Р2

1 1 Pi Р2

Р2-Р1

А, = =

1 Uo Pi О

Pi Р2

PiUq

Р2-Р1

Подставляя их в (6.39) и (6.40), окончательно получаем

«с = «Сев =

I = »с„ =

Р2 - Pi

U0CP1P2

(Pae.-Pie);

(6.42)

Р2 - Pi

HO так как, согласно теореме Виета, произведение корней pi и рг характеристического уравнения равно его свободному члену [piP2 = = 1/(LC)], то последнее выражение можно записать в виде

(6.43)

» Цр2 - Pi)

Напряжение на индуктивном элементе и определяется по формуле

dt P2 - Pi

(Pie" - Pzl

(6.44)

Так как для свободного процесса, имеющего апериодический характер, корни характеристического уравнения должны быть веществен-



ными и различными, то, согласно (6.36) и (6.37), они также всегда должны быть отрицательными.

Как видно из формул (6.42), (6.43) и (6.44), корни характеристических уравнений входят в показатели экспонент; следовательно, свободные процессы в цепях всегда затухают и тем быстрее, чем больше абсолютное значение корня характеристического уравнения. Если согласно этим формулам характер изменения переходных процессов представить в виде кривых, то каждая из них будет представлять собой сумму двух экспонент с коэффициентами затухания \pi\ и I р2 I соответственно. Значение коэффициентов затухания находят по формуле (6.37). Кривые изменения напряжений и их составляющих на емкостном и индуктивном элементах, а также кривые изменения тока и его составляющих приведены на рис. 6.10, й -е. Из рисунка видно, что напряжение на емкостном элементе Uc постепенно уменьшается от начального значения Uq, а ток в начальный отрезок времени, возрастая от нуля, достигает максимума, а затем, как и uc, также затухает.

Когда IР2 I > I Pi I, то

Р2-Р1

Р2-Р1

. Это означает, что в зави-

симостях Uc{t), i{t), ui(t), состоящих из алгебраической суммы двух экспонент, первая экспонента затухает медленнее, чем вторая. Вследствие этого напряжение на емкостном элементе uc постепенно убывает, оставаясь всегда положительным, так как его первая экспонента положительна и больше второй отрицательной экспоненты.

Кривая тока i (рис. 6.10,6) находится в отрицательной области, так как происходит апериодическая разрядка конденсатора.

Так как ток i = Cduc/dt, то максимум кривой тока i(t) и точка перегиба кривой напряжения udt) имеют место в один и тот же момент времени (рис. 6.10,в,б), а кривая «£,(0 в этот момент времени меняет знак, что следует из соотношения м/,=

= L - (рис. 6.10,е). Время можно найти,

приравнивая нулю производную di/dt. Напряжение на индуктивном элементе возникает скачком, принимая в начальный момент {t = 0) значение - Uq, затем уменьшается по абсолютному значению, проходит через нуль при равенстве экспонент и, став положительным, возрастает до некоторого максимального значения, после которого, уменьшаясь, стремится к нулю.

Следует отметить, что, согласно (6.37), увеличение индуктивности L приводит к уменьшению абсолютных значений pi и рг и, как следствие, к замедлению возрастания тока i и спада напряжения на емкостном элементе и.




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [38] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148


0.0127