Главная Движение носителей электрических зарядов



Для решения системы уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, целесообразно применять метод определителей и матриц. В этом случае уравнения для контурных токов (1.38) записывают в обобщенном виде:

Ец = Гц - 1пГ12 - 1шГ1з; Е22 = - »-21 + 111г22 - Iiiiris; (1-39)

Е3З = -11Г31 - ilir32 + 1ШГЗЗ-

Здесь rjj = Г1 + Г4 + Г5, Г22 = Г2 + Г4 + Гб, гзз = Гз + Г5 + Гб - собственные сопротивления контуров, т. е. суммарные сопротивления,, которые обозначают двумя одинаковыми индексами, указывающими номер контура; Г12 = Г21 = Ггъ - = Is, Г2Ъ - Гзг = 6 - общие сопротивления, т. е. сопротивления смежных контуров, которые обозначают различными индексами, указывающими, между какими контурами включено сопротивление. Если через общее сопротивление контурные токи смежных контуров протекают в разных направлениях, то в системе уравнений (1.39) это сопротивление стоит со знаком минус. Если же условные положительные направления токов в общем сопротивлении смежных контуров совпадают, то это сопротивление стоит со знаком плюс; = £i - £4, £22 = £4 - £2. £33 = £3 - контурные э. д. с. соответствующих контуров, номера которых указаны двумя одинаковыми индексами.

Взятая по направлению обхода алгебраическая сумма всех э. д. с, входящих в контур, называется контурной э. д. с. Контурная э. д. с. имеет знак плюс, если направление обхода контура и направление действия суммарной э. д. с. совпадают.

Для составления определителей необходимо, чтобы все уравнения системы (1.39) имели одинаковое число членов. В правой части каждого уравнения этой системы записывают произведения всех контурных токов на соответствующие сопротивления, а если какое-либо сопротивление не входит в рассматриваемый контур, его принимают равным нулю.

Решим систему уравнения (1.39) методом определителей. В общем виде ток любого fc-ro контура

4 = Afc/A, (1.40)

где А - определитель (детерминант) системы; Ак - частный определитель к-то столбца;

(1.41)

Если проведем, из левого верхнего угла определителя (1.41) диагональ в правый нижний угол (главная диагональ определителя), то увидим, что определитель относительно этой диагонали делится на две симметричные половины. Вследствие такой симметрии можно записать, что Г12 = Г21 и т. д., или в общем виде г„ = г„ц. Каждый частный

-Г12

-Г1Ъ

-Г21

-г 23

-г31

-г32

г 33



определитель Ак получают путем замены в определителе системы Л fe-ro столбца сопротивлений столбцом контурных э. д. с, записанных в левой части системы уравнений (1.39). Например, если определяется ток первого контура (fe = 1), то частный определитель имеет вид

Ец -Г12 -Г13

22 -Г23

Езз -Гз2 Гзз

(1.42)

Таким образом, расчет методом определителей заключается в составлении определителя системы и частных определителей и в нахождении по ним контурных токов. Следовательно, при расчете цепи методом контурных токов нет необходимости составлять уравнения по второму закону Кирхгофа - достаточно составить определители по уравнениям (1.41), (1.42) и затем по уравнению (1.40) рассчитать контурные токи.

При составлении определителей нельзя забывать о знаках перед членами определителя (перед э. д. с. ставят знак минус, если направление обхода и положительное направление э. д. с. не совпадают, перед общими сопротивлениями ставят знак минус, если контурные токи, которые через них проходят, направлены встречно).

Следует также отметить, что по правилу разложения определителя по элементам столбца определитель равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения. Поэтому рещение уравнений системы (1.39) в общем виде можно записать так:

+ Е.

hi - Ец -4+ Е2

+ ... + Е„

"In .

Jjv = Е,

+ ... + Е„

-Ц-д-22 д .....-„„ д

Отсюда сокращенно ток fe-ro контура

= -д mmAjm,

(1.43)

(1.44)

где Ац„, - алгебраическое дополнение, полученное из определителя системы А путем вычеркивания fe-ro столбца и т-й строки и умножения полученного определителя на (-l)*""". Здесь индекс к соответствует как номеру столбца, который вычеркивается в определителе системы, так и номеру контура, для которого вычисляют контурный ток. Индекс т означает как номер строки, которая вычеркивается в определителе системы, так и соответствует номеру контура, контурная э. д. с. которого умножается на данное алгебраическое дополнение. Из формулы (1.44) следует, что ток в любом контуре линейной электрической цепи



равен алгебраической сумме токов, вызываемых в этом контуре каждой э. д. с. в отдельности.

Необходимо отметить, что метод контурных токов рационально применять тогда, когда число узлов схемы, уменьшенное на единицу, больше числа независимых контуров, т. е. у - I > к.

§ 1.9. Метод наложения

Метод наложения широко используют при анализе линейных электрических цепей, когда в них имеется несколько источников питания. Этот метод основан на принципе на.южения (суперпозиции) путем использования принципа независимости действия э. д. с. Согласно этому принципу, токи, проходящие в сложной цепи с несколькими э. д." с, можно представить как алгебраическую сумму токов, создаваемых каждой из э. д. с. в отдельности. Следовательно, расчет сложной цепи с несколькими э. д. с. сводится к расчету нескольких цепей, каждая из которых имеет один источник питания.

Расчет сложных цепей методом наложения осуществляют следующим образом: 1) поочередно находят в ветвях схемы значения токов и их направления, создаваемые каждой из э. д. с. в отдельности, мысленно исключая остальные э. д. с. из схемы, но оставляя их внутренние сопротивления; 2) находят действительные токи в ветвях путем алгебраического сложения токов, создаваемых каждой из э. д. с. Применим этот метод для расчета схемы (рис. 1.23). Вначале найдем в ветвях значения и направления токов, создаваемьпс э. д. с. Е, полагая э. д. с. £2 = О, но учитывая ее внутреннее сопротивление г20 (рис. 1.24). Тогда по закону Ома и первому закону Кирхгофа находим

1\ = £lAl + flO + ir3{r2 + f20)]/(f3 +Г2 + Г20У,

Гз = El - Iliri + 1\о)/гз;

12 = /l -

(1.45)


Рис. 1.23

Pi иЧи Рис. 1.24




0 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148


0.0168