Главная Помехоустойчивое кодирование ГЛАВА ВТОРАЯ ГАНКЕЛЕВЫ И ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ 2.1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАНКЕЛЕВЫХ И ТЕПЛИЦЕВЫХ МАТРИЦ Основные понятия и определения. В дальнейшем будут рассмотрены квадратные и прямоугольные матрицы, в которых на всех диагоналях, параллельных главной либо побочной диагонали, располагаются равные элементы. Подобные матрицы изучаются уже более ста лет и находят многочисленные применения в различных разделах математики и ее приложениях [7, 18, 27, 42, 52]. Пусть задано некоторое множество К элементов. Для определенности и простоты изложения примем, что К ~ множество вещественных чисел, т. е. над элементами множества К выполнимы обычные операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и т. п. В последующих разделах будут рассмотрены конечные множества со специальными операциями над их элементами. Составим из элементов aj Е. К прямоугольную таблицу - матрицу, обозначаемую [ajj] и содержащую п строк и ш столбцов: л. т й2\ 22 (2.1) где использована двухиндексная система нумерации: первый индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент. При п = т матрица (2.1) является квадратной. Квадратная матрицу = [д/у] порядка п называется тепаицевой (по имени немецкого математика О. Теплица - О. Toeplitz), если д,-- = = ajl при / - / = к- 1, где /, /, / е ( 0, 1, 2,..,, п - О , т. е- если равны элементы, расположенные на диагоналях, параллельных главной диагонали:
Квадратная матрица = [ l порядка п называется ганкелевой (по имени немецкого математика Г. Ганкеля - Н. Hankel, 1839-1873), если aj ~ ufi при i j = кI, ще i, j, к, I G {. О, 1, . .., « - l] , т. е. если равны элементы, расположенные на диагоналях, параллельных побочной диагонали:
(2.3) Таким образом, в отличие от теплицевой матрицы (2.2) ганкелева матрица (2.3) всегда является симметрической, все ее элементы, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны. Транспонирование матриц (2.2) и (2.3), т.е. взаимная замена строк столбцами, не изменяет тип матрицы: если А - теплицева (ганкелева) матрица, то и - теплицева (ганкелева) матрица, где t - символ транспонирования, всегда указываемый как верхний индекс. Из представлений (2.2) и (2.3) следует, что теплицева матрица полностью определяется пешой строкой и первым столбцом, а ганкелева - первой строкой и последним стол&дом. Более того, одна матрица переходит в другую при симметричной перестановке столбцов: первый столбец становится последним, второй - предпоследним и т. д. Формально этот переход осуществляется с помощью умножения на единичную "побочно-диагональную" матрицу / порядка п: (2.4) причем умножение осуществляется по обычному правилу: строка nejwoH матрицы на столбец второй матрицы". Умножая (справа или слева) теплицеву матрицу на матрицу/ (2.4), получим ганкелеву матрицу. Например, для л = 3 пж умножении справа имеем
0 = 2; 1=2; 22 = 4 • о + аз • 1 + а2 • о = аз; г>2з = «4 * 1 + • О + аз * О = а4; г>з1 = 5 • О + а4 • О + аз • 1 = аз; г>з2 = О + а4 • 1 + аз • О = а4; 33 5 • 1 + 4 • О + аз • О = as. Таким образом, умножение справа на матрицу J соответствует изменению порядка элементов в каждой строке на обратный. Аналогично изменяется порядок элементов в каждом столбце при умножении на матрицу / слева. Переход от ганкелевой матрицы к теплицевой матрице осуществляется путем умножения (справа или слева) первой из них на матрицу (2.4). Итак, справедливы следующие соотношения Т/ =Г; Г/ =Т; /Т = Г /Г = T (2.5) где для наглядности теплицевы и ганкелевы матрицы обозначены соответственно Т и Г, причем они являются квадратными и имеют одинаковый порядок. Условимся также о следующих обозначениях. Вектор, т. е. набор из п элементов ai, а2,.. будем обозначать А = (ai, а2, .. . а„). Если необходимо подчеркнуть, что вектор имеет длину л, то воспользуемся индексацией: вектор An- Для того чтобы уточнить, является ли вектор строкой или столбцом, например в векторно-матрич-ном уравнении, условимся вектор-строку длины п обозначать А = = [aia2 ... а„ ], а вектор-столбец высоты п «2 [а, а2--- (1пУ Итак, заключая компоненты вектора в круглые скобки, например А = (ai ,а2, . . . , а„), принимаем, что А- либо вектор-строка, либо вектор-столбец в зависимости от контекста. Кроме индексахщи компонент 1, 2, . , . , л будет применяться также индексация с нуля: например, для векторов длины л и л + 1 имеем An = (ao,ai -. ,а„ ) иЛ„+, = (ао,ап ... ,а„). Вектор, обратный вектору А длины л или л + 1, т. е. вектор с обратной последовательностью компонент, условимся обозначать >1„ = (а„, 11. -. ,Л2,а,) илиЛ„ + 1 = (л„,л„ 1, ... ,а,,ао). Таким образом, квадратная теплицева матрица (2.2) задается *об- ратным" вектором Л 2 1 = {ап- i>2n-2- - • + и • • - 2, ai) длины 2л- 1, а квадратная ганкелева матрица (2.3) - "прямым вектором Ап 1 = (112» • - • ) л- 1> n+i • • - > 2n-i) такой же длины. Для самих матриц размера п X т введем обозначение А , где п - число строк, т ~ число столбцов. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [11] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 0.4971 |