Главная Помехоустойчивое кодирование



ГЛАВА ВТОРАЯ

ГАНКЕЛЕВЫ И ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ

2.1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАНКЕЛЕВЫХ И ТЕПЛИЦЕВЫХ МАТРИЦ

Основные понятия и определения. В дальнейшем будут рассмотрены квадратные и прямоугольные матрицы, в которых на всех диагоналях, параллельных главной либо побочной диагонали, располагаются равные элементы. Подобные матрицы изучаются уже более ста лет и находят многочисленные применения в различных разделах математики и ее приложениях [7, 18, 27, 42, 52].

Пусть задано некоторое множество К элементов. Для определенности и простоты изложения примем, что К ~ множество вещественных чисел, т. е. над элементами множества К выполнимы обычные операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и т. п.

В последующих разделах будут рассмотрены конечные множества со специальными операциями над их элементами.

Составим из элементов aj Е. К прямоугольную таблицу - матрицу, обозначаемую [ajj] и содержащую п строк и ш столбцов:

л. т

й2\ 22

(2.1)

где использована двухиндексная система нумерации: первый индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент. При п = т матрица (2.1) является квадратной.

Квадратная матрицу = [д/у] порядка п называется тепаицевой (по имени немецкого математика О. Теплица - О. Toeplitz), если д,-- = = ajl при / - / = к- 1, где /, /, / е ( 0, 1, 2,..,, п - О , т. е- если равны элементы, расположенные на диагоналях, параллельных главной диагонали:

«-1

- 1 • • •

л • •

2п-2

2л-3 • •



Квадратная матрица = [ l порядка п называется ганкелевой (по имени немецкого математика Г. Ганкеля - Н. Hankel, 1839-1873), если aj ~ ufi при i j = кI, ще i, j, к, I G {. О, 1, . .., « - l] , т. е. если равны элементы, расположенные на диагоналях, параллельных побочной диагонали:

(2.3)

Таким образом, в отличие от теплицевой матрицы (2.2) ганкелева матрица (2.3) всегда является симметрической, все ее элементы, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны.

Транспонирование матриц (2.2) и (2.3), т.е. взаимная замена строк столбцами, не изменяет тип матрицы: если А - теплицева (ганкелева) матрица, то и - теплицева (ганкелева) матрица, где t - символ транспонирования, всегда указываемый как верхний индекс.

Из представлений (2.2) и (2.3) следует, что теплицева матрица полностью определяется пешой строкой и первым столбцом, а ганкелева - первой строкой и последним стол&дом. Более того, одна матрица переходит в другую при симметричной перестановке столбцов: первый столбец становится последним, второй - предпоследним и т. д. Формально этот переход осуществляется с помощью умножения на единичную "побочно-диагональную" матрицу / порядка п:

(2.4)

причем умножение осуществляется по обычному правилу: строка nejwoH матрицы на столбец второй матрицы".

Умножая (справа или слева) теплицеву матрицу на матрицу/ (2.4), получим ганкелеву матрицу. Например, для л = 3 пж умножении справа имеем

"0

~bxx

bx2 bi3

ах U2 аз

b22 23

а2 аз 4

Ьз2 Ьзз

аз 4 as

- аз

-0 + 2 -

-1 =

bl2

аз

0 + 2 • 1

= аз

• 1 + 2 •

0 + rti

Ьгх =

0 + а, -0 + 2

0 = 2; 1=2;



22 = 4 • о + аз • 1 + а2 • о = аз; г>2з = «4 * 1 + • О + аз * О = а4; г>з1 = 5 • О + а4 • О + аз • 1 = аз; г>з2 = О + а4 • 1 + аз • О = а4; 33 5 • 1 + 4 • О + аз • О = as.

Таким образом, умножение справа на матрицу J соответствует изменению порядка элементов в каждой строке на обратный. Аналогично изменяется порядок элементов в каждом столбце при умножении на матрицу / слева.

Переход от ганкелевой матрицы к теплицевой матрице осуществляется путем умножения (справа или слева) первой из них на матрицу (2.4).

Итак, справедливы следующие соотношения

Т/ =Г; Г/ =Т; /Т = Г /Г = T (2.5)

где для наглядности теплицевы и ганкелевы матрицы обозначены соответственно Т и Г, причем они являются квадратными и имеют одинаковый порядок. Условимся также о следующих обозначениях. Вектор, т. е. набор из п элементов ai, а2,.. будем обозначать А = (ai,

а2, .. . а„). Если необходимо подчеркнуть, что вектор имеет длину л, то воспользуемся индексацией: вектор An- Для того чтобы уточнить, является ли вектор строкой или столбцом, например в векторно-матрич-ном уравнении, условимся вектор-строку длины п обозначать А = = [aia2 ... а„ ], а вектор-столбец высоты п

«2

[а, а2--- (1пУ

Итак, заключая компоненты вектора в круглые скобки, например А = (ai ,а2, . . . , а„), принимаем, что А- либо вектор-строка, либо вектор-столбец в зависимости от контекста.

Кроме индексахщи компонент 1, 2, . , . , л будет применяться также индексация с нуля: например, для векторов длины л и л + 1 имеем An = (ao,ai -. ,а„ ) иЛ„+, = (ао,ап ... ,а„).

Вектор, обратный вектору А длины л или л + 1, т. е. вектор с обратной последовательностью компонент, условимся обозначать >1„ = (а„,

11. -. ,Л2,а,) илиЛ„ + 1 = (л„,л„ 1, ... ,а,,ао).

Таким образом, квадратная теплицева матрица (2.2) задается *об-

ратным" вектором Л 2 1 = {ап- i>2n-2- - • + и • • - 2,

ai) длины 2л- 1, а квадратная ганкелева матрица (2.3) - "прямым

вектором Ап 1 = (112» • - • ) л- 1> n+i • • - > 2n-i) такой же длины. Для самих матриц размера п X т введем обозначение А , где п - число строк, т ~ число столбцов.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [11] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94


0.0135