Главная Помехоустойчивое кодирование



Так как ганкелева матрица симметрична, то Afy

1-1, р, а

вытекает из соотношения \а ~ а , справедливого для любых квадратных матриц.

Заметим, что если несушее множество к имеет характеристику 2 (см. § 3.1), то последнее слагаемое в выражении (2.11) уничтожается. Поясним формулу (2.11) примерами:

/ = 1, Л 1 = Ul I ~ fli;

/ - 2, Л

ai аг

02 3

/ = 3, Дз =

02 аг

аг 3 4 аг «4 5

= 52 - 32,1,1 -42,2,2+ 2 (-l)""* 342,1,2

3 2

- айго-аах 2ага4а2;

1 2 З 4

аг а а as

аз а as а

а 5 6 7,

- Д7А3 - 43,1,1 " ЛГз 22 - +

+ 27453,1,2 - 2fl4бЛз 1,3 + 2/75бЛ/з,2,3

3,1,1

3 «4 ЙГ4 fls

3,2,2

1 аз аз as

; 3,3,3

= А2;

3,1,2

ЙГ2 аз а as

3.1,3

аг аз аз Д4

3,2,3

й] ЙГз 2 £Г4

Квадратная матрица Л„ назьшается неособенной или невырожденной, если

ее определитель не равен нулю. В противном случае, при = О, матрица Л„, называется особенной или вырожденной.

Зададимся произвольной прямоугольной матрицей Л , в частном случае - квадратной при п- т, ие все элементы которой нулевые. Рассмотрим всевозможные квадратные подматрицы а для матрицы Л„ и найдем определители

к = 1, 2, . .. , п. рангом (rang) матрицы Л„ называется целое положительное число г, равное наивысшему порядку неособенной подматрицы а...

Если для произвольной матрицы найден определитель а

ф О, то требуется

вычислить только все окаймляющие определители {г + 1)-го порядка,при



равенстве их нулю имеем rang матрицы >1„ т равным г. Количество определителей порядка + 1, окаймляющих определитель порядка г, равно {т - г) {п - г).

Однако при больших п, т тл последний метод весьма громоздок.

Более экономичным по числу требуемых операций является метод Гаусса приведения матрицы к трапецеидальному, в частном случае - к треугольному, виду. Метод основан на следующих свойствах: ранг матрицы не изменяется при транспонировании матрицы и перестановке строк, а также при покомпонентном сложении (вычитании) элементов ряда строк (столбцов) и умножении элементов строки (столбца) на любое число b ф 0.

Матрица является трапецеидальной, если она имеет вид рис. 2.1.

- «11

«13 • •

«1г

«23 • - •

«2, г + 1 • *

«33 • •

з,г + 1 • *

0 .. .

0 .. .

. 0

. 0

0 . . .

. 0

). г строк

. п~ г строк

г столбцов

п - г столбцов

Рис. 2.1. Трапецеидальная матрица

Таким образом, ранг г трапецеидальной матрицы равен числу ненулевых

Цементов Дуу. / = 1,2,..,, стоящих на ее главной диагонали.

Квадратная матрица порядка г, расположенная в левом верхнем углу трапецеидальной матрицы рис. 2.1, является треугольной. Если г = и, то в представлении, подобном рис. 2.1, не окажется нулевых строк.

Алгоритм Гаусса приведения к трапецеидальному виду (рис. 2.1) произвольной ганкелевой матрицы >1р (2.3), не все элементы которой равны нулю, состоит в следующем:

1. Если fli=0, то верхней необходимо записать такую строку, у которой первый элемент отличен от нуля. (У рассматриваемых далее ганкелевых матриц среди элементов ау, аг, . . . , всегда найдется ненулевой. В общем случае можно дополнительно переставить и столбцы.)

2. Умножая первую строку на подходящие множители и складывая с остальными строками, добиваемся, чтобы первые элементы во всех строках начиная со второй по п-ю были равны нулю.

3. Если во всех п- I нижних строках стоят нули, то трапецеидальная форма получена и ранг исходной матрицы найден: rang Л„ = 1. Иначе, если трапецеидальная форма не достигнута, т. е. в строках начиная со второй по п-ю имеется хотя бы один ненулевой элемент, то применяем п. 2 алгоритма ко второй строке и т. д.



4. Если в и - г нижних строках стоят нули, то ранг исходной матрицы равен г. В частном случае, если в результате преоэований квадратной матрицы А „ полученз треугольная матрица (нулевых строк яет), то раяг А „ рявея п.

Другой метод нахождения ранга ганкелевых матриц, основанный на алгоритме Евклида, будет приведен далее при изучении так называемых продолжений. Здесь

же отметим следующее.

Система линейных уравнений (2.6)-(2.8) является несовместной, т.е. не имеет ни одного решения, если rang АФ rang Л „ где А - матрица, расширенная справа за счет присоединения столбца -Ь параметров. Система уравнений совместна при rang Л„ „ = rang Л +1 = и имеет единственное решение, еслиА = и; решетие неединственно при г < п.

Рассмотрим пример приведения к треугольному виду ганкелевой матрицы

ai 02 aj J4

fl2 3 О4 fls

з «4 s 6

Л4 as afy a-j

(2.12)

Для того чтобы исключить операцию деления (или нахождения мультипли-кативных обратных элементов), воспользуемся следующим алгоритмом: умножим первую строку надз» вторую - над j, а затем вычтем из второго результата первый. Тогда получим

О, flifl3 -2» 14 -23. aias ~ 020.

Так третью -

же обработаем первую и третью Ha«i; после вычитания имеем

(2.13)

строки: Первую ~ умножим на аз.

О, aia - 23, aias - з» i6 - 34-

Аналогично для первой и последней строк находим О, flifl5-2fl4, ауа-аза, ауа--а.

(2.14)

(2.15)

Подставляя наборы (2.13)-(2.15) соответственно вместо второй, третьей и четвертой строк в матрицу (2.12), гюлучаем

а\аз - а\

ах Д4 - а2аз

ауа - £Г2з 0\0s - 3

О Л] «5 - «24 «1 «6 - «34

a\as - 020

Об - 34 2

(2.16)

Вновь применив указанный алгоритм, но уже ко второй и третьей, ко второй и четвертой строкам матрицы (2.16), найдем

О О О

13 - «2

«3

ауа - а2аз ayos - 0204



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [13] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94


0.0707