Главная Помехоустойчивое кодирование



bi = (flifla - «2 ) (is - ) ~ ii ~ 23);

cl = (Й1Д3 -Я2) (aiaf, - аза) - (crifls -24) (i 4-23); c2- {ауаз- ai) (oia-j- a) - {ayas ~ 24)-

Наконец, преобразование последних двух строк матрицы (2-17) приводит к треугольной форме:

О 1 3 ~ 2 fifi 4 - 23 a\as - ага

(2.18)

где С= вх с2 - в2 Cl.

Таким образом, после первого акта преобразований формируется матрица (2.16), которую можно представить в виде

<1 иг

ul, 1,4

<V; 1.3

1,3; 1,4

<1,

ul, 1,3

ЛМ; i ,4

(2.19)

где Afj- у . д. - минор, получаемый на первом этапе и образуемый строками /, / и столдами к,1 исходной ганкелевой матрицы (2.12). Все миноры имеют второй порядок, причем подматрица из миноров, расположенная в правом нижнем углу, является симметрической.

Приняв теперь матрицу (2.19) за исходную, можно обозначить элементы Bj, вг* Cl, С2 матрицы (2.17) как миноры второго порядка:

1-2,3; 2,3 2-Л/2,з. 2,4> " 2,4; 2,3 » -2 2,4; 2,4 (2)

где м. . к 1 ~ минор, полученный на втором этапе и образованный строками /,/

и столбцами к, i матрицы (2.19).

Поступая аналогично с элементами матрицы (2.18), расположенными ниже первой строки, выразим их через миноры второго порядка:

О м

аг (1)

1,2; 1,2 О

аз (1)

1,2; 1,3 (2)

2,3; 2,3 О

4 (1)

1.2; 1,4 (2)

2,3; 2,4 (3)

3,4; 3,4

(2.20)



Если все миноры М} . . некоторой строки, полученные нар-м этапе, явля-

ются нулевыми, то, очевидно, матрица (2.20) сводится к трапецеидалыюй форме и имеет ранг г < п.

Итак, задача приведения квадратной матрицы Л„ к треуголыюй по алгоритму Гаусса требует вычисления только определителей второго порядка; их количество равно

! = и ~ 1

/ = 1

(и - о , I = 1, 2, .. . , и - 1

Рассмотренный алгоритм применим и к прямоугольным ганкелевым матрицам , ио приводит их к трапецеидальной форме. В этом случае необходимо вычислить 0 определителей второго порядка:

I = и - 1

в = S {п~ /) (т - О / = 1

при т > п.

2.2. РАСШИРЕНИЯ И ПРОДОЛЖЕНИЯ ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ

Расширения ганкелевых матриц. Расширим квадратную пХ ri леву матрицу (2.3) доа2Х («+ 1) прямоугольной матрицы:

и, и + 1

02

• • 1

«3

П + 2

«И

• а2п~2

2п-1 ]

(2.21)

где для удобства дальнейшего изложения столбцы обозначены, символами 0,1 -п,п- 1,. . . , 2, 1.

Матрица (2.21) имеет первостепенное значение, так как она получается за счет присоединения к квадратной матрице из уравнения (2.7) вектора параметров -Ь при реальном условии в задаче декодирования:

Расширенная матрица (2.21) однозначно определяется с помощью 2п параметров - элементов первой строки и последнего столбца.

Таким образом, матрица (2.21) задает следующую систему из п линейных уравнений относительно п неизвестных а„, 0\-

к ~ п А = о



где / = 1, 2, . . . , А2; ао = 1.

Предположим, что система (2.22) однозначно разрешима, т. е. ранги г матриц Л„ „ (2.3) и А„ (2-21) совпадают и г = п. Если г Фп, то выделим подматрицы Afr и Ar,r+i> заменив в формуле (2.22) СИМВОЛА! наг.

Так как согласно предположению гап§Л„ „тО, то система из п уравнений (2.22) относительно п неизвестных Oi, Ог, Оп может

быть сведена к одному уравнению п-н степени относительно единственной неизвестной z:

z" + oi z"~ + .. . + а/ z"~ + .. . + a„ i z + a„ = 0

либо при а,- = У{1уо

+ 7 Z + 7 = 0 «-1

(2.23)

Действительно, уравнение (2.23) можно представить в матричной

форме:

Уп-1

. . . 72

г"

.. z

. .. z"-

z"~

z"

«2

i + 1

• • •

«3

Чп

. . . U2tt

«2/1

= 0.

(2.24)

Для наглядности столбцы матрицы в уравнении (2.24) помечены символами 7,-, / = О, 1, . . . , А2, где Уо ~ главный определитель, получаемый вычеркиванием верхней строки и правого столбца; у = = (-1)Д(,-); Л(/) - минор, получаемый вычеркиванием верхней строки и г-го столбца (нумерация столбцов справа налево, начиная

с нуля).

Величины Gi и 7/ связаны соотношением а/ = yjlyo, i = 1, 2,. . . ,«, где по условию 7о Ф 0.

Продолжения ганкелевых матриц. Квадратная матрица Л называется v-продолжением ганкелевой матрицы Л„„, если в ее левом верхнем углу расположена исходная матрица и , т. е.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [14] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94


0.0128