Главная Помехоустойчивое кодирование



n + i, n + i

n, n 1

• • • • •

n+v +1

« * * *

гп-X

2n-v-2

... 1 1

2n + i-X

• • 1

а2п+ X

• • • 2n-¥v~2 1

2n + v-1

2n+2i~2

Например, для матрицы Аз имеем следующие продолжения:

U1 U2 2 1 U4 U2 йз U4 I U5

ДЗ Й4

4 дз Дб ; Д7

1-продолжение;

5,5 ~

Д1 Д2 йз

Д2 Дз «4

Дз Д4 Д5

Д4 «5 Дб

Д5 «6 3f7

«4 «5

Дз Дб

Дб Д7 1------

Д7 Да

Д8 «9

2-продолжение

Очевидно, ранг 1-продолженной матрицы либо увеличивается на единицу по сравнению с исходной матрицей, либо не изменяет-с я , если определитель продолженной матрицы равен нулю.

Аналогично можно определить продолжение расширенной прямоугольной матрицы + (2.21).

Для примера построим продолжения расширенной матрицы А с заданным вектором Л = (д Дз, - • • , «б) - Исходная матрица

3,4 =

Д Д2 Дз I «4

Д2 Дз 4 ! «5

Дз Д4 Д5 I Дб

Дх Д2 Дз «4

Д2 Дз 4 5 Дз Д4 Дз Дб

Ближайшие продолжения этой матрицы



4 4 ~

UI «2 «3 «4

«2 «3 «4 «5

«3 «4 «5 «6

U4 us Дб «7

(2.26a) ;45

u U2 «3 «4 «5

«2 «3 «4 «5 «6

«3 «4 «5 «6 «7

«4 «5 «6 «7 «8

(2.266)

Особые продолжения и понятие о их вычислении. В продолжении 44 появляется неизвестная компонента д?, которую можно выбрать произвольной. Подберем величину a-j такой, чтобы определитель был равен нулю: deXA = О (как показано далее, это всегда можно сделать). Тогда ранг расширенной матрицы Л4 4 совпадет с рангом матрицы 4-

Продолжение, не изменяющее ранг исходной матрицы, называется особым. Сформулируем некоторые утверждения относительно особых продолжений ганкелевых матриц [27]. Если квадратная ганкелева матрица (2.3) вырожденная, т. е. detyl„ „ = О, то она имеет единственное особое 1-продолжение, а если невырожденная, т.е. det>l„„ Ф О, то бесконечное множество 1-продолжений.

Рассмотрим теперь прямоугольные ганкелевы матрицы Л„ „ + Если rangyl „ + j < А2, то и rangyl„ „ < п, г потому вследствие приведенного утверждения имеется единственное продолжение, такое, что rang„+i =0.

Если же rang Л„ „ + j = а2, то det>l„ „ Ф 0. Следовательно, относительно неизвестной компоненты «2«+i уравнение /(«2n+l) ~ имеет единственное решение, где/(Д2„+1) ~n + i n + i • Например, продолжение (2.26а) расширенной матрицы (2.25) содержит единственную неизвестную компоненту a-j, которая должна быть выбрана из условия detA 4 = 0. По условию rang Л 3 4 = 3 и det Л3 3 0. Раскрывая определитель матрицы (2.26а), например по последнему столбцу, получим уравнение Л33Д7 + G = О, однозначно разрешимое относительно Д7, где Лзз = det Л ; G ~ композиция из известных компонент Д, Д2, • • • , «6-

Итак, прямоугольная ганкелева матрица А „ + j всегда имеет единственное особое продолжение.

Теоретически ганкелева матрица может быть продолжена бесконечно. Если при этом она имеет конечный ранг г, то detyl,. 0. При особых продолжениях ранг матрицы не изменяется, т. е. остается конечной величиной. Это позволяет при разыскании ее ранга вычислять только главные определители Ау матрицы , / = 1, 2, . . . , а2, и, если окажется, что А 9 О, а А + ,- = О, / = 1, 2, . . , а2-~ г, то ранг матрицы А равен г. Для рассматриваемых матриц справедливо следующее утверждение [27], позволяющее вычислять рекуррентные продолжения.

Бесконечная ганкелева матрица имеет конечный ранг г тогда и только тогда, когда существует г чисел ai, 02. . > of, таких, что

(2.27)



где u = r,r + 1,,.. ; г - наименьшее число, обладающее этим свойством В этом случае

detA,,¥=0; det = О, /=1,2,...

Соотношения (2.27) и (2.22) совпадают при г = п и переобозначении м = / + л - 1. Следовательно, формула (2.22) не только связывает 2п компонент • • • »гп ганкелевой матрицы, но и задает ее рекуррент-

ные особые продолжения. При этом нет необходимости продолжать матрицу вправо, достаточно рассматривать продолжения вниз. В принципе аналогично можно продолжать ганкелеву матрицу и вверх.

Построим, например, продолжение расширенной матрицы с вектором Л = (.. . е 2 е. I eofifj U2 - . • йб 7 8 9 10 . . • ) :

аз 02 Oi Оо

«3

«5

«6

(2.28)

Внутри "ступенчатой" фигуры в матрице (2.28) расположены только известные компоненты а, аг, - . . , а,, г. вне ее - искомые, для наглядности обозначенные иными символами.

Итак, особые продолжения вниз fifj + z, / = 1, 2, . . . , и вверх I = О, 1, 2, ..., вычисляются по рекуррентной формуле (2.22), которую

представим (при замене/ на а2 +/ ) в следующем виде:

к ~ п к - и

(2.29)

где Оо~ 1; / > 2п - при продолжении вниз; / < л + 1 - при продолжении вверх, а также принято, что det Л„ , ФО, т. е. ранг матрицы



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [15] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94


0.0124