Главная Помехоустойчивое кодирование



ривен и. В противном случае в формуле (2.29) следует п заменить на ргг матрицыЛ„ „ +

Соотношение (2.29) справедливо, конечно, и при и+1</ < 2и, но в этом случае оно связывает только известные компоненты ai, 02, • .. , Заметим, что для компактности в формуле (2.29) и известные и неизвестные компоненты обозначены одним и тем же символом а (но с разными индексами).

Таким образом, задача разыскания особого продолжения ганкелевой матрицы сводится к нахождению полинома

a(z)

z + ai z ~ * + а2 z + ... + , z + а.

(2.30)

+ 72 2

(2.31)

где7о=50; а,- =7,/Го, / = Ь 2,. . . ,г; г - ранг матрицыЛ„„ + 1.

Коэффициенты 7i полинома (2.31) могут быть найдены из матричного уравнения типа (2.24), в котором п заменено на г. Тогда коэффициенты а,- полинома (2.30) находятся по правилу Крамера. Данный метод, называемый иногда определительным [5], требует предварительного вычисления ранга ганкелевой матрицы ,2+ i- В этом смысле проще воспользоваться алгоритмом Гаусса приведения матрицыЛ„ „ +j к трапецеидальной форме, когда ее ранг находится автоматически.

Также перспективен метод, основанный на алгоритме Евклида и учитывающий замечательную взаимосвязь между бесконечными ганкелевыми матрицами и дробно-рациональными функциями. Этот метод будет изложен в следующем разделе, а здесь проиллюстрируем использование определительного метода и алгоритма Гаусса.

Зададимся компонентами ai - 2, аг = 3,аз = 1 и полиномом a(z) =

(z + 1)(2-2) z

2z +z

= -2. По формуле (2.29) при п = матрицы вниз: Д4 = 3, = 11, = 21, = 3 ... 1 - продолжения матрицы вверх: а о = 15/8.

2, т. е. примем oi = -2, 02 = 1, аз = 3 и / = 4 ... 8 найдем продолжение

= 37, Да = 75, а при / =

-3/2,а 1 = -5/4,а 2

Таким образом, имеем прямоугольную матрицу размера 4X5,

которую принимаем за исходную, неизвестного ранга:

Д] аг аз а а$

аг аз а а а

аз Д4 as «6

Д4 as Дб 1

"2313 11

3 1 3 11 21

1 3 11 21 37

3 И 21 37 75

(2.32)

Воспользуемся определительным методом; для этого рассмотрим цепочку главных определителей и вычислим их, например,



по формуле (2.11):

Ai = 2; =

7; Дз =

2 3 1

3 1 3

1 3 П

as Д2 ~ - alai + 2а2Дза4 = -78;

Ал =

2 3 13

3 1 3 И 1 3 11 21 3 И 21 37

a Дз - д Да - а?

Аз 4

Д4 5

ai аз

+ 2Д4 5

- 2а4 а

«2 аз

аз as

«5

+ 2Д5Дб

fll Дз

аз а4

= 6453- 6453 = О

Так как старший, отличный от нуля, определитель имеет третий порядок, то ранг матрицы (2.32) равен трем. Следовательно, отбросив ее последние столбец и строку, можно составить уравнение

Уз о

У2 1\

1 3 3 И

1 3 И 21

(2.33)

где коэффициенты выражаются через миноры Д(/), получаемые вычеркиванием в матрице (2.33) первой строки и /-го столбца, / = О, 1,2,3:

7з = ~Д(2) =

2 3 1

3 1 3 1 3 11

2 1 3"

3 3 11 .111 21

78; Г1 = А

78; Уз = А(з) =

2 3 3

3 1 11

1 3 21.

3 1 3 I 3 11 L3 11 21-

Здесь учтено, что 7; - (-1)Д(/) при / =0,1,2, По правилу Крамера находим

156;



= -2; 02 =

11 Уо

= -2

Таким образом, получаем правильное выражение для полинома

а(2)

2z +2-2. Продолжения ганкелевой матрицы (2.32) могут

быть вычислены по рекуррентной формуле (2.29).

Применим теперь метод Гаусса. Вытасляя квадратные миноры MfO . фигурирующие в матрицах (2.19) и (2.20), и вынося

общие множители из двух последних строк, составляем цепочку преобразований:

2 3 1 3 11

3 1 3 И 21 1 3 11 21 37

3 11 21 37 75

2 3 1 3 11

0-7 3 13

О 3 21 39 63 L О 13 39 65 117 J

[3]-

[13]- L

[-52] [-24]

3 1

"2

-7 3

1 7

-52 -

-104

-156

1 3

-72.

"2

3 1

" 2

1 3

11"

- 7 3

3 13

0 1

1 2

0 1

0 0

В результате получена матрица трапецеидальной формы, на главной диагонали которой три ненулевых элемента; поэтому ранг матрицы Л (2.32) равен трем. Отбрасывая последнюю строку и последний столбец, составляем матричное уравнение

Откуда следуют соотношения:

71+270 = 0; -772 + 37, + 137о - 0; 273+372+71+370 = 0.

Из этих соотношений последовательно находим: 7, = -270; 72 = 7о; 7з = -270. Таким образом, вновь получаем



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [16] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94


0.0177