Главная Помехоустойчивое кодирование



Oi - = -2; 02 = Уг/уо =1; 03 = уз/уо = -2 и

a(z) =z - 22 +z - 2.

2.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОСОБЫХ ПРОДОЛЖЕНИЙ ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ

Дробно-рациональные функции и особые продолжения ганкелевых матриц. Начнем со следующего утверждения [23]. Бесконечная ганкелева матрица (2.3) имеет конечный ранг г тогда н только тогда, когда сумма формального ряда

2 Oj/zj является дробно-рацнональной функцией а;(2)/ст(2). В этом случае / = 1

ранг г ганкелевой матрицы совпадает с числом корней полинома a{z) с учетом нх кратностей. Из этого утверждения следует, что элементы Д2» • • • * матрицы f. вместе с компонентами Д2г+г = 1, 2, . . . особого продолжения удовлетворяют равенству

2 а{2)

(2.34)

Пусть и > 2 н расширенная ганкелева матрица А задана своими 2п компонентами Д1, 02у -. . , 02п Усекая ряд, стоящий в левой части равенства (2.34), можем представить его в виде

01 02 °2п

+ -г + • • • + -

2 .2П

(2.35)

где полином Q{z} = «2« + i/" + ги + г/ " + • • * определяется продолжениями 2+12и+2 • • • (причем особыми) ганкелевой матрицы >4„„ + j.

Подставим сумму (2.35) в равенство (2.34) и осуществим приведение к общему знаменателю:

Л{2) а;(л) 2«

2 2" а(2)

-(2) или A{z)a{z) =2"[а;(2) -(2)0(2)], (2.36)

где /4(2) = Ji2" +Д2" + . . . + • • • + 2и-1 +2и-

Предположим, что ранг г расширенной ганкелевой матрицы Л. равен и. Составим формальный полином степени п:

СТ(2) = CTqz" + CTj 2""* + . . . + CT„ j2 + ст„. (2.37)

Если же ранг г матрицы Л„ „ + меньше ин«-г = s,tos младших коэффициентов полинома (2.37) приравниваются нулю. Рассмотрим произведение

Л(2)а(2) = (fli22"-*+fl2"~ + -.- + «2«-2+2«-l+2«) 54



X (OqZ + oiz • • • + <-2 n-i n - i = 2П . i = n

V ,2rt-i V ,« - 7 = 2/ az Li a.z • .

1 = 1 7 = 0

(2.38)

Произведение (2.38) можно разбить на три части: A{z)o{z) - P{z) + Q{z) + + R{z)y где P{z), Q{z) н R{z) - соответственно старшая (избыток), средняя и младшая (остаток) части, а именно:

P{z) aiOQZ~ + (j2ao + JiCTi)2"~ + . . . +

+ {aia +a2a 2 + . . . + a oi+aaQ)z ; (2.39)

2h 1

Q{Z) = (fli CT„ + J2<J«-1 + • • • + rtl +rt+l o) +

2w - 2

+ (2 "3 <п- 1 + • • • + fl+I П + 2оУ + . . . +

+ « + 1 1 + • • • + 2«-1 2«<o)"; (2-40)

+ («2«<«-2 + 2«-l«-I 2«-2*«>--+ (fl2«<2 + «2„ ja3 + ...+fl„ + 2*«)"~ + + («2«<l+2«-l*2 + -. + =

где символ - означает "принято по обозначению".

В выражении (2.41) коэффициенты перед степенями г обозначены через г, 1 = 1, 2, . , «. Среди коэффициентов могут быть н нулевые. Ясно, что средняя часть Q{z) в произведении A{z)o{z) равна нулю на основании рекуррентного соотношения (2.29) для вычисления особых продолжений, так как выражение в каждой скобке (2.40) удовлетворяет формуле (2.29).

Остаток R{z) является полу-НОД полиномов z к А{2). Методы его нахождения будут рассмотрены ниже, а здесь покажем как по остатку R{z) и известному полиному A{z) может быть рассчитан полином а(2), а также вычислены без рекуррентных процедур компоненты 2и+/» / = 1, 2, . .. , продолжения расширенной ганкелевой матрицы А n + i-

Из представления (2.41) следует, что полином о {z) может быть вычислен непосредственно по полиномам R{z) hA{z) на основании соотношения

СТ = Rz : А, остаток -

(2.42)

где для простоты полиномы заменены соответствующими векторами.

Отметим также, что обращенный полином P{z) для суммы старших членов представления (2.38) можно рассматривать как "остаток" (избыток), а точнее ~



как полу-НОД для полиномов и /1(2). Тогда вместо соотношения (2.42) можно использовать

о = Pz : А, остаток ~ Л,

(2.43)

где Р определяется из соотношения (2.39).

Поясним сказанное. Ранее рассматривался пример с полиномами a(z) = -2z + z - 2и A{z) = 2z5 + + 3 + + ц2 + 21 при = 3. Умножив эти полиномы, получим

(2г + 3z + 2 + 32 + 1U +21) (2 - 22 + 2 2)

- 22® + 3Z +2 + 3Z + 112+ 212

- 42 - 6z - 22 - 62** - 222 42z +

+ 22 + 3Z +2** + 32 + 112 + 2I2 -

- 42 - 62** 2z - 62 - 222 - 42

= 22® - z - 32 + 02 + 02** + 02 - 37z - 2 - 42

> .--/ .-

zP(z) Qiz) = 0 R{z)

Такимобразом, P(2) = 22 - 2 - 3; Л (2) = -372 - 2 42.

Для упрощения записи вместо полиномов будем использовать их коэффициенты, помня, что разряды должны обрабатываться независимо друг от друга, т. е. без заемов и переносов.

Согласно соотношению (2-42) имеем

42, -1, -37, О, О, О, О, О, О : 21, U, 3, 1, 3. 2 = -2,1,-2, 1 42,-22, -6, -2, -6, -4

21, -31. 2, 6. 4, О 21. П. 3, 1, 3, 2

(2.44)

-42, -1. 5. 1, -2. О -42,-22, -в, -2, -6, -А

21, И, 3, 4, 4, О 21. 11, 3, 1, 3, 2

3. 1, ~2 = -Р. Аналогично, используя соотношение (2.43), получаем

* Определение полу-НОД приведено далее



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [17] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94


0.0125