Главная Помехоустойчивое кодирование



Поднимаясь по системе уравнений (2.56) снизу вверх и разлагая правую крайнюю матрицу в аналогичное произведение, окончательно получаем

/(2)

= П

\() 1

я(2).

1 0

Лл:(г)

Последнюю формулу согласно соотношению (2.64) при / = к можно переписать таким образом:

7(2)

Откуда следует

fiz)

L(2)J

или после подстановки значения (2.65) для обратной матрицы

/(2)

г V. , (Z)

(2.66)

В частности, из представления (2.66) соотношение типа (2-57);

(-l)[-v,-(z)/(z) +w,-(z)g(z)]. Нас интересует полу-НОД, т. е. такой остаток

имеем для НОД полиномов /(z) и (z)

(2.67)

что deg Riri (z) > п; deg Rfiz) < п.

Согласно формуле (2.36) примем f{z) - z g (z) = A{z) н усечем выражение (2.67) по модулю 2 Тогда окончательно получим

ii)uiz)Aiz), modz",

причем

А(г)а{2) = ш (2 ), mod z

a(2) = fw(z), w(z) = (-l)f/?(2),

где f - постоянный множитель, который удобно выбрать так, чтобы o(Q) = = 1; deg ст(2) <и; deg со{2) <п~ 1.

применим алгоритм Евклида к полиномам z н А{г), для простоты записи трактуемых как векторы (1, О, О, О, О, О, 0) и Л (z) = (ci, й2> о, й4, as, Сб) = (2, 3, Ь 3, 11, 21).

Так как нас интересует полу-НОД, то для изображения дробных коэффициентов будем умножать делимое или сокращать все компоненты делителя на подходящее число, указывая его в скобках.



1. Умножаем делимое на Qj , где s - степень полинома Л (z), а Qj -

его старший коэффициент, не равный нулю; в данном случае а\ ф0> поэтому умножаем делитель на = 4 н выполняем деление на вектор А:

: 2, 3, 1, 3, и, 21 = 2, -3,

-22,

-42,

-33.

-13,

2. Умножаем вектор А на гц - 7 - старшую компоненту Ry и принимаем 1А

в качестве делимого, а вектор Ry - в качестве делителя

14, 21, 7, 21, 77, 147: 7,-3,-13,-9,63=2,27 14, -6, -26, -18, 126

27, 33, 39, -49, 147

[7]- (27, 33, 39, -49, 147)

~" [27]- ( 7, -3, -13, -9, 63)

(312, 624,-100, -672): [4] ( 78, 156, - 25, -168)= R2-

3. Делим последний остаток на а~ = 4, где 2 л = 6 - степень самого первого делителя, s = deg yl (z) = 5, и находим R2 - (78, 156, -25, - 168) - Умножаем i?iHar2i = 78 (па старшую компоненту Л2) и делим 78/?i на 7?2:

[78]- ( 7, -3, -13, -9, 63) : 78, 156,- 25,-168 = 7,- 17

[7]- (78, 156, -25,-168)

-1326, -839, 474, 4914

1326, - 2652, 425, 2856

(1813, 49, 2058) : [49 ( 37, 1, 42) =/?.

S - f + 1

Разделив последний остаток на 6 = 49, где 6=7- старший коэффици-

ент остатка Ль s = deg А (z) = 5, t = deg Л1 (z) =4, получим искомый полу-НОД R = (37, 1, 42), найденный ранее иными способами.

Аппроксимация падз и ее связь с ганкелевыми матрицами. Этот вид аппроксимации предназначен для приближенного представления неизвестного бесконечного

полинома A{z) конечной функцией, например дробно-рациональной a;(z)/o(z),

по известному усеченному представлению А2п() = ау + aiz + , . . + 2/2"



Степени полиномов о (г) и <aj(z) принимаются соответственно равными п и и - 1, так чтобы

deg о (z) + deg uj){z) - deg afi),- с,

a(2) = + CTj z + a2 z + . . . + o г; co(z) =

= GJo + U)i2+a;2 2 + .,. + a; jz \ Где = 1.

Полипомы -42,i(2). w(z) И (t(z) связаны так называемым уравнением Падэ [23];

(2,68)

Уравиенне (2.68) аналогично уравнению (2.36), используемому для представления бесконечного ряда (из коэффициентов ганкелевой матрицы конечного ранга) в виде дробно-рационалыюй функции. Эта связь аппроксимации Падэ н ганкелевых матриц конечного ранга особенно наглядно проявляется в следу-

ющем. Подставим в уравнение (2.68) значения известного Л2/;(-) и нсизвесгных

о"(2), сЗ(2) полиномов, а затем прирав11яем коэффициенты при одинаковых степенях Z ,

в результате получим систему из 2п - 1 уравнений с таким же количеством неизвестных. Итак, имеем

mod 22", 42(2)а (2) =

+ (jj 1 2 + . . . + cfj „( Z + о\а2 + , . , + Oi 2/2 - 1

+ a,fll24, , .+afl„22""

U>{Z) = ClIq + U)1 2 + . . , + CJ -1" +0-2"+.., +0-2

Огкуда следует сисгема алгебраических уравнений относительно неизвестных (jj, . . . , сг, и ыо. , , . , При известных д 1, 2 • 1 "о 1 а именно:

+ <7„ „( + ai д, + . . . + ai = О, . . ,

т. е.

f+ <о-1 / - О, I,. . . , W - I; (2.69)

о.; / = "о Ь I = 1, 2,----W. (2.70)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [21] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94


0.0124