Главная Помехоустойчивое кодирование



торого к логарифмам (модифицированным) Log, т. е. процедура модифицированного логарифмирования, осуществляется по табл.ЗЛЗ, согласно которой находим ответ: Л 2 - (115).

Проведенные расчеты удобно оформить следующим образом:

А2 = SiSo- S = 163 113 + 226 = 20+ 196= 115. (3.25)

Антилогарифм (табл. 3.7) Л = 20 -> 01011010

7V= 196--- 01100100

00111110 - Л= 115.

Логарифм

(табл. 3.13)

Анапогично, пользуясь правилом (3.23), таблицами антилогарифмов и логарифмов, найдем:

Al = S3S0 + S2S1 = 203 113+ 163 226 = 60+ 133 = 41. (3.26)

Л= 60 - 11010010 N= 133- 10111000

01101010 * #-41.

Aq - -з"! + Si = 203 • 226+ 163 = 173 + 70= 144. (3.27)

N= 173- 01111011 Л=70-* 00101111

01010100 yV= 144.

Окончательно при х = 30 найдем искомое значение заданной функции

F(x = 30) =Л2Х +74ix + 74o = 115 • 30 +41 • 30 + 144 = = 173 + 70+ 144 = 0.

Здесь на последнем этапе нулевой результат сложения может бьпь найден без обращения к, таблицам антилогарифмов и логарифмов, так как при вычислении коэффициента А о уже было установлено, чхо 173 + 70 = 144.

В рассмотренном примере элементы поля были заданы в виде модифицированных логарифмов (десятичных номеров). Это облегчило умножение на первом этапе, а далее для выполнения сложения был



осуществлен переход с помощью антилогарифмирования к векторному представлению элементов поля. Наконец, на заключительном этапе для перехода к исходной форме представления элементов в виде десятичных номеров была использована таблица логарифмов. Если бы по условию задачи коэффициенты были заданы в виде векторов, то последовательность использования таблиц была бы обратная. Таким образом, при данном методе вычислений достаточно сложных выражений с чередующимися операциями сложения и умножения приходится многократно переходить от полиномиального (векторного) представления к степенному (логарифмическому) и наоборот, что достигается с помощью процессов логарифмирования и антилогарифмирования. В результате необходимо пользоваться двумя таблицами ~ логарифмов и антилогарифмов. Как будет показано, удается ограничиться одной таблицей так называемых логарифмов Якоби-Зеха (далее - просто Зеха).

Функции (логарифмы) Зеха. Составим таблицы сложения для полей GF(2) небольших размерностей и попробуем определить закономерность их построения. На рис. 3.5 приведены фрагменты таких таблиц для /• = 2 . . . 4, где элементы полей представлены в виде десятичных номеров N - модифицированных логарифмов. Очевидные значения слагаемых с нулем опущены, так как О N= N. Кроме того, вследствие коммутативности операции сложения заполнены лишь половины таблиц над нулевой диагональю, соответствующей равенствам N + N = 0. Наконец, таблицы расширены вправо для лучшего выявления закономерности их построения.

Рассматривая таблицы на рис. 3.5, можно обнаружить, что значения элементов на диагоналях, параллельных нулевой, нарастают (имеется в виду обычная десятичная система счисления). Таким образом, эти

таблицы напоминают симметричные теплицевы матрицы с нарастающими вдоль диагоналей (кроме нулевой) элементами. Подобные матрицы-таблицы полностью определяются своей первой строкой (либо первым столбцом), т. е. достаточно запомнить значения сумм вида 1 + Лдля всех

N = 2 . . . (2 - !)• Действительно, на основании дистрибутивного закона, связывающего операции сложения и умножения, имеем

ia+b)=a{lNf,)=h{l+Na),

где Nfj = b/a\ Nq =a/b.

Функции L (N) - 1 + yv, где yV- десятичные номера (модифицированные логарифмы) элементов поля GF(2), назовем модифицированными функциями (модифицированными логарифмами) Зеха.

В литературе, например [35, 36], рассматриваются также обычные логарифмы Зеха, которые обозначаются Log и используются при степенном представлении элементов поля:



л = 3

г =4

Рис. 3.5. Таблицы сложения для полей Галуа 0(2), г = 2 ... 4

т - п

a"Log(m - rt) =a"Log loga

m - n

Модифицированные и обычные логарифмы Зеха для Л 1 связаны соотношением, аналогичным (3.21):

1(Л0 =LogA+1.

Функции L (N) могут быть рассчитаны по полиному 7г(х), определяющему поле GF(2). Например, для GF(2) с полиномом 7г(.х) = = х+х+1из условия п(х) = О, т. е. х+ 1 =х, найдем, переходя к десятичному представлению элементов поля и используя соотношение

(1 +л)2 = 1 +ДГ2

1+2 = 4 или 1+4 = 2 (см. рис. 3.5) ;



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [38] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94


0.013