Таблица 4.1

Классификация основных Фурье-подобных преобразований

\1ножество (абелева группа)

Бесконечное

Конечное

Континуум (действительные числа)

множество ф (поле, кольцо с единицей)

бесконечное (поле комплексных чисел)

Интегральные преоб разования Лапласа и Фурье

Счетное (целые числа)

Циклическая группа

Прямораз

ложимая

группа

-преобразование (Лорана), дискретное преобразование Лапласа

Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Уолша (Крес тенсона, Виленкина, Понтрягина)

конечное

поле галуа

Преобразование Цып к ина-Фараджева (Лапласа-Галуа)

модулярное кольцо

Теоретико-числовые преобразования (ТЧП) Фу рье ~ Мэттсона-

Соломона (Мерсенна, Ферма) -Галуа

Уолша- (Крестенсо-на, Виленкина, Понтрягина)-Галуа

Модулярное

разов.аний лежит следующая идея [16] - использовать характеры абе-

левой группы, соответствующей множеству А отсчетов заданной функ-щ1и. (Характером абелевой группы называется функция х()> удовлетворяющая уравнению xCi + х2) = хСОхСз) и условию х(0) = 1

[16].)

Над полем комплексных чисел С характерами являются:

для бесконечной непрерывной (континуальной) абелевой группы

вещественных чисел - комплексные экспоненты б(а), t) = ехр(/а));

для бесконечной, но счетной, абелевой группы целых чисел - дискретные экспоненты 6(со, п) = exp(/a)w), и = О, 1,2,.. . ;

для конечной циклической группы порядка N

из единицы, т. е. V 1 = exp(/27r/W).

Преобразование с подобным выбором характеров, используемых в качестве базисных функций, является ортогональным.

Подставляя в исходные выражения (4.1) вместо ядер W(cjj,t) и Н*(а), t) соответственно ехр(/а)Г) и ехр(-/а)Г), получим известную пару одномерных интегральных преобразований Фурье:

корень Л-й степени

прямое преобразование

К (со) =а J v(r)exp(/cor)c/r;

обратное преобразование

v(r) =а J К(а))ехр(-/а)Г)с/а),

где а - константа.

Если двухсторонний промежуток (-«», +оо) заменить односторонним (О, оо), то будет получено преобразование Лапласа, обеспечивающее сходимость интеграла для большего класса функций:

F(/7) =Jv(r)exp(-pr)c/r,

(4.2)

гдер =/а).

Подставляя в формшу (4.2) дискретную экспоненту ехр (-/cow) и заменяя интеграл знаком суммы, а следовательно, непрерывное время t дискретным w, получим дискретное преобразование Лапласа

V{ji) = S v[w, 0] ехр(-рп)

я = о

или -преобразование (преобразование Лорана)

F(z,a) = S y[n,0]z

я= о

гдег = схр{р),р= a-jcj; в частном случае р =/со.

Аналогично, используя характер е = exp(±/27r)/W = \/1 конечной циклической группы порядка Л, получим выражения для дискретного (прямого или обратного) преобразования Фурье (ДПФ или ОДПФ) над полем комплексных чисел:

/ = о г = о

Процесс формирования ядра (а,) ДПФ представлен на рис. 4.1, а примеры матриц ДПФ для Л= 2 ... 4, 6 - на рис. 4.2.

Итак, мы рассмотрели преобразования на бесконечных и конечных циклических абелевых группах. Особый класс составляют (см. последнюю строку в табл. 4.1) преобразования на конечных абелевых группах, представимых в виде прямой суммы абелевых групп меньшего порядка.

Прямая сумма абелевых грущ! [33]. Пусть даны две абелевы группы: Л = <А\ *>исй = <5, Р> тогда их прямой су ммойЛ Ф Л будет система < С; + >, где С = АХ В - декартово произведение мно-

Рис 4.1. Формирование ядра дискретного преобразования Фурье: й - система

характеров; б - матрица, / = О, 1,. .. ,-/V- 1; к = О, i,. . ., N~ \

жеств А и В, т. е. множество всевозможных пар вида с = (а.Ь), а ЕА, ЬЕ В,а операция " + " выполняется покомпонентно:

Если конечные абелевы группы и S имеют порядки Ni и N2, то прямая сумма ofb также является абелевой группой и имеет

порядок N=NiN2.

Особое значение для дальнейшего изложения имеет утверждение: прямая сумма двух циклических групп порядков Ai и N2, где Л! и N2 - взаимно простые натуральные числа, является циклической группой порядка N = Ni N2, наоборот, если порядок конечной циклической группы разлагается в произведение взаимно простых чисел = N1N2, то эта группа представима в виде прямой суммы циклических групп порядков и N2.

Если порядок циклической группы является степенью простого числа р, т. е. Л = р, где т - натуральное число, то она называется примарной по числу р. Любая конечная циклическая группа разлагается в прямую сумму примарных циклических групп (по разным простым числам), в то время как сами примарные циклические группы неразложимы.

Вернемся к классификации дискретных преобразований на прямо-разложимых абелевых группах.

Классификация дискретных преобразований иа конечных абелевых группах и со значением в поле комплексных чисел. 6 табл. 4.2 представлена классификация рассматриваемых преобразований и приведены