Главная Помехоустойчивое кодирование



и вводя так называемые поворачивающие множители [26], можно получить ДПФ порядка yV= г?". Эти преобразования будут рассмотрены ниже в более общем виде при вычислении ДПФ над полями Галуа. Там же будут рассмотрены аагоритмы быстрых преобразований при простом числе N. А сейчас перейдем к факторизации матриц ППВК и ДПФ.

Метод взаимно простых множителей в процедуре факторизации матриц ДПФ и ППВК. Используя тензорное произведение, сформируем ядро МхМг соответствующим ядрам Идг и Ур, тд,е Ni

1Л N2 - взаимно простые числа. На рис. 4.3 и 4.4 приведены примеры построения матриц по матрицам W2 и для двух вариантов разложения группы в прямую сумму, а процесс факторизации матриц W2 ® и Нз ® W2 показан на рис. 4.5.

«2 = 0

«2=1

6 2 ез

пз = О «3=1 «3=2

«3=0 «3=1 «3=2

аз = 0

«3=1

I аз

62 63

6263 23 2 3

23 23 23

2 63 2 3 2 3

23 2 63

«3

= О = 1

аз =2

6263

£263

6263

/=02 23

6263 23 €263

6263

2 3 23

2 сз 6263

Нб Hi 0 Нз =

[Jill

"1

1

11 1 I 1 1

1 ез

1 €з

€3 I

1 1 1 ,-1-1 "1

4 63

1 €3 е? i -1-63 -

63 1-1-6 -€3

2 3 23

23 2 63

1 1

1 б-*

1 1

1 6

1 е-*

0 2

"вх

0 = «о

4 = «1

2 = «2

3 = «3

1 = «4

5 = «5

Рйс 4.3. Преобразование Понтрягина - Виленкина - Крестенсона на группе G = = СгФ G3: а " характеры группы (базис пространства {Gs = G3; С\ );

б~ ядро преобразования (6= бб)



€ 3 €2

«3 = 0

«3=1

«3 = 2

f

II tn

= 0 = 1

«2 = 1

tn 3

02 a2

= 0 = 1

«2 = 0

«2=1

«2=0

«2=1

«2 = 0

«2 = 1

.0.0 €362

32 1

1 .0.0 i 362

.0.0 3 t2

.0.0 t3 t2

1 €зе2

1 ,0 0 I 32

€362

-

.0.0 €3 €2

"oo"

€362

1 632

.1.0 €362

.0 0 32

.0.1 1 32 ,

1 .10

.1.1 t3 t2

1 4 el

.0.0 32

"IoTo~

.2 .1 t3 t2

Нб-Из0 12 =

1 1

1 63

el 63

1 1 1 -1

1 -

1 11

ез ез

ез -

el ! 63 el

ез -ез

1 1

0 = «o

3 = «i

1 1

4 = «2

1 = «3

1 1

2 = «4

5 = «5

0 3

= G3 Ф

* * V*** ЖХ ЖЖ*** -ЖЖАДлЖЖАЛр £

еры группы (базис пространства б - ядро преобразования (6= бе)

Заметим, что матрицы W, Н2 ® Нз и Нз ® Н2, представленные соответственно на рис. 4.2, г, 4.3, б и 4.4, 5, изоморфны, т. е. получаются одна из другой при некоторых перестановках строк и столбцов и учете

-1 =

следующих тождеств ез = ,

ез = в,

el = 66. На

рис. 4.3, б и 4.4, б указаны нумерации строк и столбцов матриц W2 ® Нз и Из ® И2> приводящие их к матрице на рис. 4.2, г (способ нумерации объяснен ниже).

Другими словами, преобразование Понтрягина-Виленкина-Крестенсона совпадает (при изменении последовательности компонент входного и выходного сигналов) с дискретным преобразованием Фурье.

Если порядок Л матрицы Wj можно представить в виде произведения ряда взаимно простых множителей

N=NN2 .. .Лд,НОД (/V,-,/V) =1 при1 Ф]\

1 С 1




1 о о

о 1 о о о 1

1 1

wf, {еъ ъ) ® {щег) = (Яз ® w2) {wz ® £"2) =

1 О О

о 1 о о о 1

1 1

1 -1

1 1

1 -1

1 1

1 -1

1 I

1 -1

1 о о 1

1 1 1

е е 1 е

1 -2

Рис 4.5. Факторизация матрицы w(,: о - --w2 ® Vs; 5 - Ve з ® 2» где

е= бз = ехр(/27г/3)

--символ изоморфизма, i. е. матрицы ии W- совпадают при перестановке (обычно не единственной) их строк и столбцов. однако часто практически удобнее переставлять компоненты входных и выходных сигналов.

правило переупорядочения данных сигналов основано на китайской системе счисления [37]. приведем соответствуюцдай алгоритм переупорядочения.

1. вычислить значения вспомогательных величин -N/Nti = 1, 2,..., д.

2. составить и решить следующие сравнения (модулярные уравнения с одним неизвестным 7/= 1 (modivf), / = 1, 2,...

3. представить числа и от о до л- 1 в китайской системе счисления:

п -mizi /1 + м2 22 /2 +... + , mod (4.6)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [49] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94


0.0111